江苏省如皋市2024-2025学年高三上学期开学能力测评数学试卷.docx

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江苏省如皋市2024-2025学年高三上学期开学能力测评数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数的实部与虚部分别为（????）

A． B．

C． D．

2．若和都为基底，则不可以为（????）

A． B． C． D．

3．若，集合，则满足（????）

A． B．

C． D．

4．已知实数，则使和最小的实数分别为的（????）

A．平均数；平均数 B．平均数；中位数

C．中位数；平均数 D．标准差；平均数

5．在等差数列中，若，则下列说法错误的是（????）

A． B．

C．的最大值为 D．满足的的最大值为

6．若虚数满足，不等常实数满足为定值，则下列说法一定错误的是（????）

A． B．

C． D．

7．若方程的两实数解满足，则（????）

A．存在最小值，存在最大值3

B．存在最小值，不存在最大值

C．不存在最小值，存在最大值3

D．不存在最小值，不存在最大值

8．若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（????）

A． B． C． D．65

二、多选题

9．随机事件满足，则下列说法正确的是（????）

A．事件互不独立

B．

C．

D．

10．由不重合的两正四面体和组成六面体分别为上的动点，且.下列说法正确的是（????）

A．六面体的体积为

B．二面角的正切值为

C．的最小值为

D．到的距离平方和的最小值为

11．已知圆，圆，圆与圆都相切，记点的轨迹为曲线，点在曲线上.下列说法错误的是（????）

A．直线与曲线的交点个数可以为

B．存在使得直线与曲线只有2个交点

C．若存在3或6条直线满足，则的取值范围为

D．若存在4条直线满足，则的取值范围为

三、填空题

12．已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为.

13．关于自然数的方程的解的个数为.

14．已知半径为1的球面上有不重合的四点，则和的取值范围分别为和.

四、解答题

15．在四棱锥中，，，，平面为中点.

(1)求四棱锥的体积；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

16．在中，内角满足.

(1)求角A的大小；

(2)若上有一点满足，且，求的值.

17．已知圆交轴于两点，椭圆以为长轴，椭圆上有一动点，且的最小值为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与分别平分直线与椭圆和圆的交线段，

①证明：存在实数使得恒成立，并求出实数的值；

②求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的最大值.

18．已知函数.

(1)判断与的大小并证明；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)已知数列满足，证明：.

19．若数列只由个1和个0组成，且第一个1之前有偶数（可为零）个0，此后每两个相邻的1之间有奇数个0，则称数列为型布尔数列.

(1)写出所有的型布尔数列和所有的型布尔数列；

(2)记型布尔数列的总个数为；

①证明：，其中且；

②令，其中且，证明：.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

C

D

B

B

A

ACD

BD

题号

11

答案

BCD

1．A

【分析】求得复数，可求复数的实部与虚部.

【详解】因为，

所以复数的实部与虚部分别为.

故选：A.

2．C

【分析】假设不能构成一组基底，可知，依次验证各个选项，确定是否有取值即可.

【详解】若不是一组基底，则可设，

对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；

对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；

对于C，若，则，解得：，

不是一组基底，C正确；

对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.

故选：C.

3．C

【分析】利用集合的交集运算法则，元素与集合的关系，元素的互异性进行判断．

【详解】A．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意；

B．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意；

C．若，即，如果，不满足元素的互异性，不成立，如果，不满足条件，故选项正确，符合题意；

D．至少有元素3，故，故选项错误，不符合题意；

故选：C.

4．C

【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可.

【详解】，表示2025个绝对值之和，

根据绝