第一章反比例函数知识点及练习题2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册 .docx

第一章反比例函数知识点及练习题

一、反比例函数及其图象性质

（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.

三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).

（2）反比例函数解析式的特征：

①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；

②比例系数；

③自变量的取值为一切非零实数；

④函数的取值是一切非零实数.

（3）反比例函数的图象

①图象的画法：描点法

列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；

描点（由小到大的顺序）；

连线（从左到右光滑的曲线）.

②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.

③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.

④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意点引轴、轴的垂线，

所得矩形面积为.

反比例函数

k的符号

k0

k0

图像

性质

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限.在每个象限内，y

随x的增大而减小.

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k0时，函数图像的两个分支分别

在第二、四象限.在每个象限内，y

随x的增大而增大.

（4）反比例函数性质：

（5）反比例函数解析式的确定：

利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）

（6）“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.

特别说明：

（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；

（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.

二、针对练习

1.已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（）

A．一，二，三象限 B．一，二，四象限

C．一，三，四象限 D．二，三，四象限

2.如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（）

A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30

3.在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

4.如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（）

A．（-2019，674） B．（-2020，675）

C．（2021，-669） D．（2022，-670）

5.在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

6.如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（）

A． B． C． D．

7.一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（）

A． B．或

C． D．或

8.点都在反比例函数的图像上，则（）

A． B． C． D．

9.正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则__________．

10.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．

11.如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．

12.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．

13.如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求的面积．

14.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．

（1）求对应的函数表达式；

（2）过点作轴交轴于点，求的面积；

（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．

15.如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）求的值并直接写出点的坐标；

（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；

（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．