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专题07求数列的通项公式
【考点1】已知前你n项和,求通项公式的步骤
(1)、当n=1时,a1=S1;(2)、当n≥2时,an=Sn-Sn-1;(3)对n=1时的状况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式.
【考点2】已知数列的前几项,求通项公式
假如符号正负相间,则符号可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借助分子、分母的关系来解决.
对于比较困难的通项公式,要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠视察(视察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特别数列)等方法来解决.
【考点3】已知数列的递推关系,求通项公式
当出现an=an-1+m时,构造等差数列;
当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;
当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现eq\f(an,an-1)=f(n)时,用累乘法求解.
若数列满意,则数列都是公差为a的等差数列,若数列满意,则数列都是公比为b的等比数列.
题型一:公式法
例1、(2024·全国·武功县普集高级中学模拟预料(理))记为各项均为正数的等比数列的前n项和,,,则(????)
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【分析】依据题意求出数列的首项和公比,即可依据通项公式求得答案.
【详解】由为各项均为正数的等比数列,且,,
设数列公比为,可得,且,则,
解得,
故,
故选:D.
【变式训练1-1】、(2024·广西·模拟预料(理))在等比数列中,若,则___________.
【答案】24
【分析】依据的值,利用等比数列的性质计算求得,进而求得.
【详解】设公比为,有,可得.
故答案为:24
例2、(2024·浙江台州·模拟预料)已知公差为2的等差数列中,,,成等比数列.
(1)求;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意,用表示,求解即可;
(2)结合等差、等比求和公式,分组求和即可.
【详解】(1)因为,,成等比数列,所以,
又因为等差数列的公差为2,
所以,
解得,
所以;
(2)由题意,
由于,故为以为首项,公比为4的等比数列,
所以
.
【变式训练2-1】、(2024·上海松江·二模)在等差数列中,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设等差数列的公差为,由可得,从而求出与的值即可求出的通项公式;
(2)由(1)可知,则,从而利用分组求和即可求出.
【详解】(1)解:设等差数列的公差为,
由,得,解得,
所以;
(2)解:由(1)可知,则,
所以.
题型二:累加法与累乘法
(一)、用累加法求数列的通项公式
例3、(2024·上海市控江中学高二期末)己知数列满意,则其通项公式________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累加法即可求出数列的通项公式.
【详解】
因为,所以,
所以,,,…,,
把以上个式子相加,得,
即,所以.
故答案为:.
【变式训练3-1】、在数列中,,,则该数列的通项公式=.
【分析】题目已知条件是,且)形式,用叠加原理求解.
【解析】因为,所以运用累加法即可得到:,所以,故应填.
【点评】当,且)满意肯定条件时,可用…来求通项,这种方法通常叫累加法.本题用到裂项相消求和,相消时应留意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,事实上或是个变量,变更随之变更.
【变式训练3-2】、(2024·浙江柯桥·高二期末)已知等差数列中,,前5项的和为,数列满意,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记,求数列的前n项和.
【答案】(1),;
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列求和公式可得,进而可得,再利用累加法可求,即得;
(2)由题可得,然后利用分组求和法即得.
(1)
设公差为d,由题设可得,
解得,
所以;
当时,
,
∴,
当时,(满意上述的),
所以.
(2)
∵.
当时,
.
当时,
.
综上所述:.
(二)、用累乘法求数列的通项公式
例4、(2024·安徽黄山·一模)已知数列满意,,则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累乘法可求得数列的通项公式,利用错位相减法可求得,即可求得所求代数式的值.
【详解】
因为数列满意,,则,
所以,当时,,
也满意,所以,对随意的,.
令,则,
可得,
上述两个等式作差得,
所以,,
因此,.
故答案为:.
例5、(2024·河北·沧州市一中高三阶段练习)已知数列中,,且满意
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