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2024年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

第I卷（选择题）

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评卷人

得分

一、单选题

1．已知集合，，则中元素的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．复数的虚部是（）

A． B． C． D．

3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A． B．

C． D．

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标记着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

5．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）

A． B． C． D．

6．已知向量，满意，，，则（）

A． B． C． D．

7．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A． B． C． D．

8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

9．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）

A．–2 B．–1 C．1 D．2

10．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

11．设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）

A．abc B．bac C．bca D．cab

第II卷（非选择题）

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评卷人

得分

二、填空题

13．若x，y满意约束条件，则z=3x+2y的最大值为_________．

14．的绽开式中常数项是__________（用数字作答）．

15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

16．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中全部真命题的序号是__________．

评卷人

得分

三、解答题

17．设数列{an}满意a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

18．某学生爱好小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园熬炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

熬炼人次

空气质量等级

[0，200]

(200，400]

(400，600]

1（优）

2

16

25

2（良）

5

10

12

3（轻度污染）

6

7

8

4（中度污染）

7

2

0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园熬炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．依据所给数据，完成下面的2×2列联表，并依据列联表，推断是否有95%的把握认为一天中到该公园熬炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400

人次400

空气质量好

空气质量不好

附：，

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

20．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

21．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个肯定值不大于1的零点，证明：全部零点的肯定值都不大于1．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

（1）求||：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

23．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

采纳列举法列举出中元素的即可.

【详解】

由题意，中的元素满意，且，

由，得，

所以满意的有，

故中元素的个数为4.

故选