专题03 等比数列（解析版）.docxVIP

专题03等比数列

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：等比数列的基本运算 4

题型二：等比数列中的最值问题 9

题型三：等比数列实际应用 10

题型四：等比数列的证明与判断 12

题型五：等比数列求通项与求和 14

题型六：等比数列的最值和范围问题 17

知识点总结

知识点总结

1．等比数列的概念

(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，或eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*，n≥2).

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.

2．等比数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.该式又可以写成an＝eq\f(a1,q)·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.

(2)前n项和公式：

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1?q＝1?，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)?q≠1?.))

当q≠1时，该式又可以写成Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＝\f(a1,1－q)))图象上一群孤立的点.

3．等比数列的性质

(1)与项有关的性质

①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).

②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).

③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.

④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.

⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍为等比数列，且公比为eq\f(q1,q2).

⑥当{an}是公比为q(q0)的正项等比数列时，数列{lgan}是等差数列，首项为lga1，公差为lgq.

(2)与和有关的性质

①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).

②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则eq\f(S偶,S奇)＝q.

③在等比数列中，当qm≠1时，eq\f(Sn,Sm)＝eq\f(1－qn,1－qm)，n，m∈N*.

④在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.

4．等比数列的单调性

(1)当a10，q1或a1＜0,0q1时，等比数列{an}是递增数列．

(2)当a10,0q1或a1＜0，q1时，等比数列{an}是递减数列．

(3)当q＝1时，它是一个常数列．

(4)当q0时，它是一个摆动数列.

常用结论与知识拓展

1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列．

2．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.

3．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．

即若Sn＝Aqn＋B(AB≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列?A＋B＝0.

例题精讲

例题精讲

等比数列的基本运算

【要点讲解】方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

分类讨论的思想：当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1?1－qn?,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则的值等于

A． B． C． D．

【解答】解：，，，4成等差数列，