第4节 第1课时 三角函数的图象与性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析.doc

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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第四节三角函数的图象与性质

课标解读

考向预测

1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象.

2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.

3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质.

从近几年的高考来看，三角函数的图象与性质是高考的重点，预计2025年高考对于三角函数图象与性质的考查会与三角恒等变换结合，以选择题或填空题为主，难度中等.

必备知识——强基础

1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．

(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

eq\x(\s\up1(01))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))(k∈Z)

值域

eq\x(\s\up1(02))[－1，1]

eq\x(\s\up1(03))[－1，1]

R

周期性

2π

eq\x(\s\up1(04))2π

eq\x(\s\up1(05))π

奇偶性

eq\x(\s\up1(06))奇函数

eq\x(\s\up1(07))偶函数

奇函数

单调递增区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)

eq\x(\s\up1(08))[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)

单调递减区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ,＋\f(3π,2)))(k∈Z)

eq\x(\s\up1(09))[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

—

对称中心

(kπ，0)(k∈Z)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)

对称轴方程

x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)

x＝kπ(k∈Z)

—

1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．

(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．

(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上是增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数．

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sinx在第一、第四象限单调递增．()

(2)正切函数y＝tanx在定义域上是增函数．()

(3)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sineq\f(π,6)，知eq\f(2π,3)是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．()

(4)余弦曲线的对称轴是y轴．()

(5)函数y＝cos|x|和y＝cosx周期相同．()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×