第7节 第1课时 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析.doc

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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第七节抛物线

第1课时抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质

课标解读

考向预测

1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.

2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).

3.了解抛物线的简单应用.

近三年高考考查了抛物线的定义和标准方程以及抛物线的准线，以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍以基础知识为考点，注意几何性质的应用.

必备知识——强基础

1．抛物线的概念

把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq\x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的eq\x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq\x(\s\up1(03))准线．

2．抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

范围

eq\x(\s\up1(04))x≥0，y∈R

eq\x(\s\up1(05))x≤0，y∈R

eq\x(\s\up1(06))y≥0，x∈R

eq\x(\s\up1(07))y≤0，x∈R

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，,0))

Feq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，,\f(p,2)))

Feq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，,－\f(p,2)))

准线方程

eq\x(\s\up1(11))x＝－eq\f(p,2)

eq\x(\s\up1(12))x＝eq\f(p,2)

eq\x(\s\up1(13))y＝－eq\f(p,2)

eq\x(\s\up1(14))y＝eq\f(p,2)

开口方向

向eq\x(\s\up1(15))右

向eq\x(\s\up1(16))左

向eq\x(\s\up1(17))上

向eq\x(\s\up1(18))下

对称轴

eq\x(\s\up1(19))x轴

eq\x(\s\up1(20))y轴

顶点

eq\x(\s\up1(21))(0，0)

离心率

e＝eq\x(\s\up1(22))1

1．抛物线方程一般首先转化为标准形式．

2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．

3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．

4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．()

(2)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．()

(3)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)．()

(4)以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2．小题热身

(1)(人教A选择性必修第一册习题3.3T1改编)抛物线y＝2x2的准线方程为()

A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)

C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1

答案A

解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,8).故选A.

(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3T31改编)抛物线y2＝2px(p0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()

A．y2＝8x B．y2＝4x

C．y2＝2x D．y2＝x

答案B

解析由题意，可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，则3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.

(3)(人教A选择性必修第一册习题3.3T4改编)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同

的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．

答案y2＝±4eq\r(2)x

解析由题意可知双曲线的焦点为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)