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专题10导数的综合运用

1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax?ex

【答案】1

【解析】解：f

因为x1,x

所以函数fx在?∞,x1

所以当x∈?∞,x1∪x

若a1时，当x0时，2lna?a

故a1不符合题意，

若0a1时，则方程2lna?a

即方程lna?ax

即函数y=lna?a

∵0a1,∴函数y=a

又∵lna0,∴y=lna?ax的图象由指数函数

设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x

则切线的斜率为g

故切线方程为y?ln

则有?lna?a

则切线的斜率为ln2

因为函数y=lna?a

所以eln2a

又0a1，所以1e

综上所述，a的范围为1e

2、【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【解析】由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

故答案为：

3、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

【详解】（1）因为，定义域为，所以，

当时，由于，则，故恒成立，

所以在上单调递减；

当时，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）方法一：

由（1）得，，

要证，即证，即证恒成立，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

方法二：

令，则，

由于在上单调递增，所以在上单调递增，

又，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，则，当且仅当时，等号成立，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以要证，即证，即证，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见详解（2）

【详解】（1）构建，则对恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以；

构建，

则，

构建，则对恒成立，

则在上单调递增，可得，

即对恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以；

综上所述：.

（2）令，解得，即函数的定义域为，

若，则，

因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

则在上单调递减，在上单调递增，

故是的极小值点，不合题意，所以.

当时，令

因为，

且，

所以函数在定义域内为偶函数，

由题意可得：，

（i）当时，取，，则，

由（1）可得，

且，

所以，

即当时，，则在上单调递增，

结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，

所以是的极小值点，不合题意；

（ⅱ）当时，取，则，

由（1）可得，

构建，

则，

且，则对恒成立，

可知在上单调递增，且，

所以在内存在唯一的零点，

当时，则，且，

则，

即当时，，则在上单调递减，

结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，

所以是的极大值点，符合题意；

综上所述：，即，解得或，

故a的取值范围为

5、（2023年全国乙卷数学（理））8．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.

(3)若在存在极值，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)存在满足题意，理由见解析.

(3).

【详解】（1）当时，，

则，

据此可得，

函数在处的切线方程为，

即.

（2）由函数的解析式可得，

函数的定义域满足，即函数的定义域为，

定义域关于直线对称，由题意可得，

由对称性可知，

取可得，

即，则，解得，

经检验满足题意，故.

即存在满足题意.

（3）由函数的解析式可得，

由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;

令，

则，

令，

在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，

当时，，在区间上单调递减，

此时，在区间上无零点，不合题意;

当，时，由于，所以在区间上单调递增，

所以，在区间上单调递增，，

所以在区间上无零点，不符合题意；

当时，由可得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故的最小值为，

令，则，

函数在定义域内单调递增，，

据此可得恒成立，

则，

令，则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

故，即(取等条件为)，

所以，

，且注意到，

根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.

当时，，单调减，

当时，，单调递增，

所以.

令，则，

则单调递减，注意到，

故当时，，从而有，

所以

，

令得，所以，

所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数得取值范围是.

6、【2022年全国甲卷】已知函数fx

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