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组合数学第04讲_真假币问题

知识图谱

-真假币问题假币轻重已知假币轻重未知组合数学第04讲_真假币问题

错题回顾

真假币问题

知识精讲

一．假币轻重已知

1．问题：从N个硬币中找出其中的一枚假币，假币较真币轻（或者重），

则至少需要用天枰称多少次？

2．方法：可将硬币分为三堆，则称一次就可确定假币所在的堆数．以此类

推即可得出所需的最少次数．

二．假币轻重未知

1．问题：从N个硬币中找出其中的一枚假币，不知道假币较真币轻还是重，

则至少需要用天枰称多少次？

2．方法：可将硬币分为两堆，则称一次就可确定假币所在的堆数．以此类

推即可得出所需的最少次数．

三点剖析

重难点：重量已知则分三堆，未知则分为两堆．

题模精讲

题模一假币轻重已知

例1.1、

有9枚外表完全相同的硬币，其中有8枚真币和1枚伪币，伪币比真币重．现

在只有一台没有砝码的天平．将硬币分别编号为1、2、3、…、8、9，第一次

将1、2、3号和4、5、6号硬币分别放在天平两边，发现天平是平衡的；第二

次将7号和8号硬币分别放在天平两边，天平也是平衡的，那么说明__________

号硬币是伪币．

答案：

9

解析：

1、2、3号和4、5、6号重量相等，7号和8号重量相等，说明1号至8

号都是真币，所以9号为伪币．

例1.2、

有11枚外表完全相同的硬币，其中有10枚真币和1枚伪币，伪币比真币重．现

在只有一台没有砝码的天平．利用这台天平最少称___________次，就能找出伪

币．

答案：

3

解析：

将11枚硬币分成3组，分别有3、4、4枚，将两组4枚的硬币分别放在

天平两端．

（1）如果天平平衡，则说明伪币在剩下的3枚中．从3枚硬币中取2枚放

在天平两端．如果天平平衡，则说明剩下的一枚为伪币．如果天平不平衡，

则较重端的硬币为伪币．所以，2次可称出伪币．

（2）如果天平不平衡，则说明伪币在较重端的4枚中．将较重的4枚平均

分成2组，分别放在天平两端．取较重一端的2枚，再分别放在天平两端，

较重端的硬币为伪币．所以，3次可称出伪币．

综上，3次一定可以找到伪币．

例1.3、

有26颗小球，有25颗一样重，其中一个比另外25颗都重，那么至少用天平

称_______次才能保证找到这颗重的小球．

答案：

3

解析：

将球分为A、B、C三堆，分别有9、9、8个球，第一次称A和B：

（1）若平衡，则重球在C中．将C分为D、E、F三堆，分别有3、3、2

个球，第二次称D和E：若平衡，则重球在F中，再称一次即可；若不平

衡，把重的那3个球的其中2个球称一下，不平衡则已找到重的，平衡则

另一个即为所求．

（2）若不平衡，则重球在重的那一堆中，将此堆再分为D、E、F三堆，每

堆3个球，第二次称D和E，由此可确定重球在D、E、F中的哪一堆．第

三次再将重的那3个球的其中2个球称一下，不平衡则已找到重的，平衡

则另一个即为所求．

综上，至多需要称3次．

例1.4、

现有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略轻的假珍珠，用一台天平至少

称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？

答案：

6

解析：

利用三分法，由可知，6次必能挑出来．

例1.5、

有10箱金条，每箱有100根．所有的金条外观没有区别．其中9箱金条是真

的，每根100克，1箱金条是假的，每根比真金条轻1克，只有99克．现在

给你一条天平及配套砝码，能不能只称一次，就找到哪箱金条是假的？

答案：

能

解析：

方法一：第1箱取1根，第二箱取2根，第三箱取3根……第10箱取10

根，共取出55根，放在天平左侧．如果左侧比5500克少1克，则第一箱

金条是假的，如果左侧比5500克少2克，则第二箱金条是假的……

方法二：第