微专题(一) 一元二次方程根的分布--2025年高考数学复习讲义及练习解析.doc

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．

(1)判别式Δ的符号；

(2)对称轴x＝－eq\f(b,2a)与所给区间的位置关系；

(3)区间端点处函数值的符号．

一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：

类型一已知两根与实数k的大小关系

根的分布情况

两根都小于k，即x1k，x2k

两根都大于k，即x1k，x2k

一根小于k，一根大于k，即x1kx2

大致图象(a0)

得出的结论

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)k，,f（k）0))

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)k，,f（k）0))

f(k)0

大致图象(a0)

得出的结论

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)k，,f（k）0))

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)k，,f（k）0))

f(k)0

综合结论(不讨论a)

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)k，,a·f（k）0))

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)k，,a·f（k）0))

a·f(k)0

例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．

答案[－1＋2eq\r(2)，2)

解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－1）2－4（2－m）≥0，,\f(m－1,2)0，,f（0）＝2－m0，))

解得－1＋2eq\r(2)≤m2.

(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x11x2，那么实数a的取值范围是________．

答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,11)，0))

解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a＝0可化为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋9＝0，令f(x)＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋9，则f(1)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))×1＋90，解得－eq\f(2,11)a0.

当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.

1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．

答案(－6，－2eq\r(5)]

解析令f(x)＝x2＋(m－2)x＋6－m，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－2）2－4（6－m）≥0，,－\f(m－2,2)2，,f（2）＝4＋2（m－2）＋6－m0，))即

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2\r(5)或m≤－2\r(5)，,m－2，,m－6，))解得－6m≤－2eq\r(5).

2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．

答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))

解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－eq\f(2m,2m＋1)x＋eq\f(m－1,2m＋1)，则f(0)0，即eq\f(m－1,2m＋1)0，所以(2m＋1)(m－1)0，解得－eq\f(1,2)m1.

解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝eq\f(m－1,2m＋1)0，解得－eq\f(1,2)m1.

类型二已知两根所在的区间

根的分布情况

两根都在(m，n)内

恰有一根在(m，n)内

一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，mnpq

大致图象(a0)

得出的结论

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f（m）0