专题7.5 空间向量与立体几何（原卷版）.docxVIP

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2024-09-25 发布于天津
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专题7.5 空间向量与立体几何（原卷版）.docx

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专题7.5空间向量与立体几何

TOC\o1-3\h\z\u题型一：空间向量的线性运算 3

题型二：共线、共面向量定理 6

题型三：数量积运算 10

题型四：求夹角取值范围 11

知识点总结

空间向量及其有关概念

名称

定义

共线(平行)

向量

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量

共面向量

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量

共线向

量定理

对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

共面向

量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

空间向量

基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc

空间向量及其运算的坐标表示

(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，

λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

当b≠0时，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；

cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝

eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).

(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则eq\o(P1P2,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).

用空间向量研究直线、平面的位置关系

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向

向量分别为n1，n2

l1∥l2

n1∥n2?n1＝λn2

l1⊥l2

n1⊥n2?n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m?m·n＝0

l⊥α

n∥m?n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m

α∥β

n∥m?n＝λm

α⊥β

n⊥m?n·m＝0

例题精讲

空间向量的线性运算

【要点讲解】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

已知点，3，，，3，，，则点的坐标为

A．，3， B．，， C．，6， D．，3，

在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则

A． B．

C． D．

如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则

A． B． C． D．

在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则

A． B． C． D．

如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则

A． B．

C． D．

如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则

A．1 B． C． D．

平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则

A．， B．， C．， D．，

如图，平行六面体的各棱长均为1，，，则

A． B． C． D．

在平行六面体中，，，，，，则的长

A．10 B． C． D．

三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，．

（Ⅰ）试用表示向量；

（Ⅱ）若，，，求的长．

如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，则下列说法错误的是

A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上

C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上

共线、共面向量定理

【要点讲解】(1)对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①eq\o(PA,\s\up16(→))＝λeq\o(PB,\s\up16(→))；②对空间任一点O，存在实数t，使eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→))；③对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\u