专题7.6 向量法求空间角和距离（解析版）.docxVIP

专题7.6向量法求空间角和距离

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：异面直线所成角 2

题型二：直线与平面所成角 9

题型三：平面与平面的夹角 18

题型四：点到平面的距离 26

知识点总结

知识点总结

用空间向量研究距离、夹角问题

分类

图示

计算公式

夹

角

异面直线所成的角

cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|)

直线与平面所成的角

sinθ＝|cos〈u，n〉|＝

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|)

两个平面的夹角

cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)

距

离

点到直线的距离

PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up16(→))|2－|\o(AQ,\s\up16(→))|2))＝eq\r(a2－?a·u?2)(u是直线l的单位方向向量)

点到平面的距离

PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up16(→))·\f(n,|n|)))＝

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up16(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up16(→))·n|,|n|)(n是平面α的法向量)

例题精讲

例题精讲

异面直线所成角

【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和异面直线所成角的范围即可求得答案．

在长方体中，已知，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【解答】解：连接，，

由几何体的特征可得，

所以异面直线与所成角为，

设，则，，

所以，，

，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是

A． B． C． D．

【解答】解：设与所成角为．

以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．

则，0，，，1，，，1，，，0，，

，，0，，，

设，

则，．

，，

当时，，；

当时，，，

此时，，

当且仅当时等号成立．

．

故选：．

如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于

A． B． C． D．

【解答】解：如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形．

连接，，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

设，则，

所以．

故选：．

如图所示，在正方体中，为线段上的动点，则下列直线中与直线夹角为定值的直线为

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

【解答】解：设正方体的棱长为1，如图，以为原点，

分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，

设，，，，，则，，

，，，

，不是定值，故错；

，不是定值，故错；

，所以直线与直线所成角为，故正确；

，不是定值，故错．

故选：．

某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：取正方体的相邻两个面，，

它们的中心分别为，，是对应钟面圆心，

0点时，两个钟面时针分别指向点，，

显然，直线，分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，

它们成的角，即两个钟面时针分别指向点时，两个时针所成的角为，

当两个钟面时针分别指向点，时，有，

因此当时针从0点转到3点的过程中，两个时针所在直线所成的角从逐渐增大到，

令成角的位置时针分别指向棱，上的点，，

如图，建立空间直角坐标系，令，

则，1，，，2，，设，

显然，则，，，，2，，

，，

，解得，

因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有1个，

同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为的位置各有1个，

所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有4个．

故选：．

正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【解答】解：连接，则，

则（或其补角）为异面直线与所成角，

设正方体的棱长为，则在中，，，

由余弦定理得，

即异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

直线与