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专题8.1直线的方程

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：直线倾斜角、斜率大小判断 5

题型二：直线的倾斜角和斜率关系 7

题型三：线段公共点 9

题型四：选择合适的形式确定直线方程 12

题型五：两条直线的平行与垂直 14

题型六：两条直线相交 16

题型七：距离问题 17

题型八：对称问题 21

题型九：直线方程的综合应用 24

知识点总结

知识点总结

直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.

(3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)).

直线的斜率

(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.倾斜角等于90°的直线没有斜率．

(2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

(3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up16(→))的坐标为(x2－x1，y2－y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x)，特别地，(1，k)是l的一个方向向量.

斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角

(范围)

α＝0°

0°＜α

＜90°

α＝90°

90°＜α

＜180°

斜率

(范围)

k＝0

k＞0

不存在

k＜0

直线方程的五种形式

名称

方程的形式

常数的几何意义

局限性

点斜

式

y－y0＝

k(x－x0)

(x0，y0)是直线上一定点，k为斜率

不垂直于x轴(k存在)

斜截

式

y＝kx＋b

k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例

不垂直于x轴(k存在)

两点

式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)

(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点

不垂直于x轴和y轴(x1≠x2，y1≠y2)

截距

式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例

不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab≠0)

一般

式

Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0)

A，B，C为系数

任何位置的直线

特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线．

两条直线的特殊位置关系

(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2.

(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2?k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2.

两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.

三种距离公式

(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝eq\r(x2＋y2).

(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

【常用结论与知识拓展】

1．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程

(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；

(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；

(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；

(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.

2．过定点(x0，y0)的直线系方程

过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示为λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ