二元函数的极值汇总课件.pptVIP

第六章第四节二元函数的极值(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函数的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法三、小结与思考练习3/5/20241目录上页下页返回

一、二元函数的极值定义若函数的某邻域内有则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.3/5/20242目录上页下页返回

定理1(必要条件)函数存在偏导数,且在该点取得极值,则有证:取得极值,故取得极值取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.说明:使偏导数都为0的点称为驻点.但驻点不一定是极值点.例如,有驻点(0,0),但在该点不取极值.3/5/20243目录上页下页返回

定理2(充分条件)若函数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令A0时取极大值;A0时取极小值.则:1)当时,具有极值时,没有极值.2)当3)当时,不能确定,需另行讨论.这个定理不加证明.3/5/20244目录上页下页返回

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提示:第一步求驻点.第二步判别.A0时取极大值;A0时取极小值.1)当时,具有极值时,没有极值.2)当3)当时,不能确定,需另行讨论.3/5/20246目录上页下页返回

例.求函数的极值.解:第一步求驻点.解方程组得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.求二阶偏导数在点(1,0)处为极小值;3/5/20247目录上页目录下页下页返回结束机动上页返回

在点(1,2)处不是极值;不是极值;在点(?3,0)处在点(?3,2)处为极大值.3/5/20248目录上页目录下页下页返回结束机动上页返回

例求函数f(x,y)=xyx+3y?9x的极值。3?+3322驻点ABCAC?B2判定(1,0)1206＋极小值?5(1,2)120?6－无极值(?3,0?1206－无极值)(?3,2?120?6＋极大值31)3/5/20249目录上页下页返回

例.讨论函数在点(0,0)及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值正可能为,因此z(0,0)不是极值.负0因此为极小值.3/5/202410目录上页目录下页下页返回结束机动上页返回

提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.3/5/202411目录上页下页返回

说明:从上例可以看出，计算函数f(x,y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.3/5/202412目录上页下页返回

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二、条件极值与拉格朗日乘数法无条件极值:对自变量只有定义域限制极值问题条件极值:对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制条件极值的求法:方法1代入法.例如,转化求一元函数的无条件极值问题3/5/202417目录上页下页返回

方法2拉格朗日乘数法.例如,如方法1所述,设可确定隐函数的极值问题,故则问题等价于一元函数极值点必满足故有记3/5/202418目录上页下页返回

极值点必满足引入辅助函数则极值点满足:辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.3/5/202419目录上页下页返回

拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.推广在条件例如,求函数下的极值.设解方程组可得到条件极值的可疑点.3/5/202420目录上页下页返回

解设所求平面的方程为3/5/202421目录上页下页返回

解方程组3/5/202422目录上页下页返回

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提示：目标函数：约束条件：构造拉格朗日函数：3/5/202424目录上页下页返回

内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.如对二元函数即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代