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2025高考--圆锥曲线的方程(一轮复习)课时五
知识点一根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆过点,离心率为,过点作斜率为,的直线,,它们与椭圆的另一交点分别为,,且.
(1)求椭圆的方程;(2)证明:直线过定点.
随堂练习:已知椭圆的离心率,上顶点是,左?右焦点分别是,,若椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程;(2)点和是椭圆上的两个动点,点,,不共线,直线和的斜率分别是和,若,求证直线经过定点,并求出该定点的坐标.
典例2、已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当椭圆和圆:.过点作直线和,且两直线的斜率之积等于,与圆相切于点,与椭圆相交于不同的两点,.
(i)求的取值范围;(ii)求面积的最大值.
随堂练习:已知椭圆的左,右顶点分别为A,B,直线交椭圆C于P,Q两点,直线与
x轴不平行,记直线的斜率为,直线的斜率为,已知.
(1)求证:直线恒过定点;(2)设和的面积分别为,求的最大值.
典例3、在平面直角坐标系中,已知点,,过点的动直线与过点的动直线的交点为P,,的斜率均存在且乘积为,设动点Р的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;(2)若点M在曲线C上,过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N,点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T,求的最大值.
随堂练习:对于椭圆,有如下性质:若点是椭圆外一点,,是椭圆
的两条切线,则切点A,B所在直线的方程是,可利用此结论解答下列问题.
已知椭圆C:和点,过点P作椭圆C的两条切线,切点是A,B,记点A,B到
直线(O是坐标原点)的距离是,.
(1)当时,求线段的长;(2)求的最大值.
知识点二根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题
典例4、已知动点到定点的距离比到直线的距离小2,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设是轴上的点,曲线与直线交于,且的面积为,求点的坐标.
随堂练习:已知动点M到点的距离等于它到直线的距离,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求动点M的轨迹方程C;(2)已知,过点的直线l斜率存在且不为0,若l与曲线C有且只有一个公共点P,求的面积.
典例5、已知抛物线的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点.
(1)当l的倾斜角为时,若,求;(2)设点,且,求l的方程.
随堂练习:已知抛物线的焦点为,直线过点,且与抛物线交于、两点,.
(1)求的取值范围;(2)若,点的坐标为,直线与抛物线的另一个交点为,直线与抛物线的另一个交点为,直线与轴交于点,求的取值范围.
典例6、已知P为抛物线E:上任意一点,过点P作轴,垂足为O,点在抛物线上方(如图所示),且的最小值为9.
(1)求E的方程;(2)若直线与抛物线E相交于不同的两点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点N,且为等边三角形,求m的值.
随堂练习:已知抛物线C:上的点到其焦点F的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;(2)已知点D在直线l:上,过点D作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与直线l交于点M,过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N,当|MN|最小时,求的值.
2025高考--圆锥曲线的方程(一轮复习)课时五答案
典例1、答案:(1);(2)证明见解析.
解:(1)由于,故,所以.
又椭圆过点,故,从而,,椭圆的标准方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,,不合题意,舍去.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
由得,设,则.
又由得:,
所以,化简得,解得或(舍去).
当时,直线过定点,符合要求.
综上可知,直线过定点.
随堂练习:答案:(1);(2)直线过定点
解:(1)因为椭圆的离心率,椭圆经过点,所以,又,
解得,,,所以椭圆的方程为.
(2)证明:设直线的方程为,,,,,
联立,得,
所以,,
所以,,
所以,
解得,所以直线过定点.
典例2、答案:(1)(2)(i);(ii)
解:(1)由题意,,解得,,,所以椭圆的标准方程为.
(2)(i)由题意,两直线、的斜率均存在,且两直线的斜率之积为1,
设的斜率为,则的斜率为,则直线的方程为,即,
直线的方程为,即,
与圆相切于点,,化简得,
由得,,
,化简得,,
由得,,代入上式化简得,,
解得,又,则,得,
所以的取值范围是.
(ii)设,,
由(1)可知,,,
又,又原点到直线的距离,
面积,
设,则,由以及得,
所以当时,面积取最大值.所以面积的最大值是.
随堂练习:答案:(1)证明见解析;(2).
解:(1)依题意,,设,
直线方程为,由消去x并整理得:
,,则,
因在椭圆上,有,直线BP斜率,有,
则,即,而
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