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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
思维拓展03函数和不等式中的恒成立和有解问题(精讲+精练)
①一元二次不等式中的恒成立和有解问题
②基本不等式中的恒成立问题
③函数不等式中的恒成立和有解问题
一、必备知识整合
一、必备知识整合
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数的值域为或,或或中之一种,则
①若恒成立(即无解),则;
②若恒成立(即无解),则;
③若有解(即存在使得成立),则;
④若有解(即存在使得成立),则;
⑤若有解(即无解),则;
⑥若无解(即有解),则.
【说明】(1)一般来说,优先考虑分离参数法,其次考虑含参转化法.
(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关,另外要注意①②③④中前后等号的取舍!(即端点值的取舍)
二、分离参数的方法
①常规法分离参数:如;
②倒数法分离参数:如;
【当的值有可能取到,而的值一定不为0时,可用倒数法分离参数.】
③讨论法分离参数:如:
④整体法分离参数:如;
⑤不完全分离参数法:如;
⑥作商法凸显参数,换元法凸显参数.
【注意】
(1)分离参数后,问题容易解决,就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但如果难以分离参数或分离参数后,问题反而变得更复杂,则不分离参数,此时就用含参转化法.
(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的,应该考虑先去掉这一部分或端点,再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】
三、其他恒成立类型一
①在上是增函数,则恒成立.(等号不能漏掉).
②在上是减函数,则恒成立.(等号不能漏掉).
③在上是单调函数,方法一:分上述两种情形讨论;(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①,使得方程成立.
②,使得方程成.
五、其他恒成立类型三
①,;
②,;
③,;
④,.
二、考点分类精讲
二、考点分类精讲
【典例1】(23-24高三上·山东滨州·期末)若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式对任意恒成立,则,成立,
而,当且仅当,即时取等号,因此,
所以实数的取值范围是.
故选:B
【典例2】(2024高三·全国·专题练习)若命题“”为真命题,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】由题意可得不等式在R上有解,结合计算即可求解.
【详解】由题意可知,不等式在R上有解,
∴,解得,
∴实数m的取值范围是.
故选:A.
【典例3】(23-24高三上·江苏·阶段练习)若两个正实数满足且不等式恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值,根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围.
【详解】由题设,
当且仅当时取等号,
又恒成立,即.
故选:A
【典例4】(2024高三·全国·专题练习)已知正数满足,若恒成立,则实数的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
将原不等式转化为,再求的最大值即可得到的最小值.
【详解】
因为,所以,
因为,所以,
故,
又,
当且仅当时,等号成立,
故,实数的最小值为.
故选:D.
【题型训练-刷模拟】
1.一元二次不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1.(2024·浙江·模拟预测)若不等式的解为全体实数,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
2.(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知命题:为假命题,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
3.(23-24高三下·山东菏泽·阶段练习)已知条件:“不等式的解集是空集”,则条件:“”是条件的(???)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(23-24高三上·重庆长寿·期末)已知函数,对都有成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
5.(2024·湖北·二模)已知等差数列的前n项和为,且,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数x可能为(????)
A. B.0 C.1 D.2
6.(23-24高三上·山东日照·开学考试)命题“,”为真命题的充要条件是(???)
A. B. C. D.
7.(2023·福建宁德·模拟预测)命题“”为真命题的一个充分不必要条件是(????)
A. B.
C. D.
8.(22-23高二下·四川乐山·期末)已知函数存在单调递减区间,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
2.基本不等式中的恒成立问题
一、单选题
1.(23-24高三上·上海黄浦·期中)若对任意的,不等式恒成立,则
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