思维拓展03 函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

思维拓展03函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精练）

①一元二次不等式中的恒成立和有解问题

②基本不等式中的恒成立问题

③函数不等式中的恒成立和有解问题

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

三、其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

五、其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【典例1】（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.

【详解】不等式对任意恒成立，则，成立，

而，当且仅当，即时取等号，因此，

所以实数的取值范围是.

故选：B

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.

【详解】由题意可知，不等式在R上有解，

∴，解得，

∴实数m的取值范围是.

故选：A.

【典例3】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围.

【详解】由题设，

当且仅当时取等号，

又恒成立，即.

故选：A

【典例4】（2024高三·全国·专题练习）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将原不等式转化为，再求的最大值即可得到的最小值.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

故，

又，

当且仅当时，等号成立，

故，实数的最小值为.

故选：D.

【题型训练-刷模拟】

1.一元二次不等式中的恒成立和有解问题

一、单选题

1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；

当时，因为的解为全体实数，

所以，解得；

综上：.

故选：C.

2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：为真命题，讨论a是否为0，结合时，解不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知命题：为假命题，

则命题：为真命题，

故当时，，即为，符合题意；

当时，需满足，解得，

综合可得实数的取值范围是，

故选：D

3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件：“”是条件的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】因为不等式的解集是空集，

所以不等式的解集是，

当即时，

若，则，舍；

若，则，；

当时，则，解得，

综上所述，

所以条件是条件的充分不必要