思想04 运用转化与化归的思想方法解题（4大核心考点）（讲义）（解析版）.docxVIP

思想04运用转化与化归的思想方法解题

【目录】

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考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题 8

考点二：运用“简单化原则”转化化归问题 11

考点三：运用“直观化原则”转化化归问题 16

考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题 19

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．

将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：

1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．

2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．

3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．

4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．

1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（????）

A． B．4 C． D．7

【答案】C

【解析】法一：令，则，

代入原式化简得，

因为存在实数，则，即，

化简得，解得，

故的最大值是，

法二：，整理得，

令，，其中，

则，

，所以，则，即时，取得最大值，

法三：由可得，

设，则圆心到直线的距离，

解得

故选：C.

2．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意结合正弦定理可得，

即，

整理可得，由于，故，

据此可得，

则.

故选：C.

3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则开口向下，对称轴为，

因为，而，

所以，即

由二次函数性质知，

因为，而，

即，所以，

综上，，

又为增函数，故，即.

故选：A.

4．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（????）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】取中点，连接，如图，

是边长为2的等边三角形，，

，又平面，，

平面，

又，，

故，即，

所以，

故选：A

5．（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．

【答案】

【解析】设球的半径为.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；

分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，

连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.

综上，.

故答案为：

6．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．

【答案】

【解析】

如图所示：记，

方法一：由余弦定理可得，，

因为，解得：，

由可得，

，

解得：．

故答案为：．

方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，

由正弦定理可得，，解得：，，

因为，所以，，

又，所以，即．

故答案为：．

7．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．

(1)求的方程；

(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

【解析】（1）依题意，得，则，

又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，

所以，即，则，

所以椭圆的方程为.

（2）因为椭圆的方程为，所以