二次函数与一元二次方程题目讲解.docx

PAGE

PAGE1

二次函数与一元二次方程题目讲解

1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．

上述结论中正确的是_____．（填上所有正确结论的序号）

【答案】②③④．

【讲解】

解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），

∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），

①∵a＞0，

∴b＜0；

∴①错误；

②当x＝﹣1时，y＝0，

∴a﹣b+c＝0；

∴②正确；

由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3，

∴③正确；

一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，

由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，

∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；

∴④正确；

故答案为②③④．

2．如图，二次函数的图象经过x轴上的二点，它们的坐标分别是：（-4，0），（2，0）.当x的取值范围是_______时，y随x的增大而减小.

【答案】.

【讲解】试题分析：∵二次函数的图象经过x轴上的二点（-4，0），（2，0），

∴二次函数的对称轴为.

∴当时，y随x的增大而减小.

考点：二次函数的图象和性质.

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）

A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大

C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根

【答案】D

【讲解】由开口方向可知a，故A选项错误；

观察图像可知当x＞1时y随x的增大而减小，故B选项错误；

观察图像可知，故C选项错误；

抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）故3是方程ax2＋bx＋c=0的一个根．

故选：D

4．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根为_____．

【答案】x1＝1，x2＝﹣3．

【讲解】由图象可得，

抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，

则抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

即当y＝0时，0＝﹣x2+bx+c，此时方程的解是x1＝1，x2＝﹣3，

故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．

5．如图，已知二次函数的图象经过A（2,0）.

（1）求的值.

（2）若二次函数于轴相交于的点，且该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求的面积.

【答案】（1）-6；（2）6.

【讲解】解：（1）把代入

得

（2）由（1）得的坐标为（0，－6）

抛物线对称轴为：

点坐标为

的面积为：

6．二次函数的部分图象如图所示，下列说法：①；②时，随的增大而增大；③的解为，；④；⑤或时，，其中正确的序号是．

【答案】②③⑤

【详解】解：抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴为直线，

，

抛物线与轴交点坐标为，

，

，①错误；

由图象可得当时，随增大而增大，

当时，随增大而增大，

②正确；

抛物线经过点，抛物线对称轴为直线，

抛物线经过点，

的解为，③正确；

由图象可得当时，，

④错误；

抛物线与轴交点坐标为，，抛物线开口向下，

当或时，，

⑤正确．

故答案为：②③⑤．

7．一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（）

A．a＝3，b＝6，c＝1B．a＝3，b＝－6，c＝1

C．a＝－3，b＝－6，c＝1D．a＝3，b＝－6，c＝－1

【答案】D

【详解】解：，

，

，，，

故选：D．

8．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【答案】C

【讲解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，

∴

解得：

故选C

9．已知是一元二次方程的一个根，则的值是（????）

A． B． C． D．或

【答案】A

【讲解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，

∴4+2m+2＝0，

∴m＝．

故选：A．

10．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012﹣2a﹣2b的值_______．

【答案】2022

【讲解】解：由题意知

∴

∴

故答案为：2022．

11．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）

A．x2﹣2x＝0B．x2+4x＝﹣4

C．2x2﹣4x+3＝0