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模块六立体几何（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在四面体中，，则四面体外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，，，所以.

又，所以，故.

取的中点，则到四面体四个顶点的距离均为2，即四面体外接球的半径为2，则四而体外接球的体积为.

故选：D.

2．如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（????）

A．直线 B．直线

C．直线 D．直线

【答案】C

【解析】

设正方体的棱长为1，

如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，

设，，则，，，，，

，不是定值，故A错；

，不是定值，故B错；

，所以直线与直线所成角为，故C正确；

，不是定值，故D错.

故选：C.

3．若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，

因此球的半径，有，

所以球的表面积.

故选：C

4．在三棱柱中，平面是等边三角形，是棱的中点，在棱上，且.若，则异面直线与所成角的余弦值是（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】取AB中点,连接DF，EF,

因为D是BC的中点，所以，

即异面直线AC与DE所成角就是平面或补角，

假设，因为△ABC是等边三角形，所以,

因为,，

所以,

因为平面ABC，则为直三棱柱，

所以,,

在△DEF中，,

故异面直线AC与DE所成角余弦值为.

故选：B.

5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，

由题知为等腰直角三角形，，，

设正方体的棱长，

则，，

则由与相似可得，即，

，所以正方体棱长为.

故选：C.

6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为，

则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，

可得正方体体对角线长，外接球半径为，

所以外接球表面积为.

故选：D.

7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，两圆锥的表面积分别为和，内切球半径分别为和．若，则的值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】两圆锥的母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面半径为，

由圆心角之和为，得，则，

又，即，将代入，

所以，

即，所以，从而，．

由圆锥内切球半径公式得，，

所以，将代入，解得，同理可得，所以.

故选：C.

8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（???）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分别取的中点，连接，

根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；

根据题意可知，

而平面，

故平面，又平面，

故平面平面，则平面平面，

作，垂足为S，平面平面，

平面，故平面，

则梯形的高即为平面与平面之间的距离；

，

故，

即平面与平面之间的距离为，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（????）

??

A．若平面，则 B．若平面，则

C．若平面，则 D．若平面，则

【答案】BD

【解析】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，

则，，，，

设平面的法向量为，则，取，

又平面的法向量可以为，

设，，则，

若平面，则，即，解得，

即，故A错误，B正确；

若平面，则，则，即，

所以，解得，即，故C错误，D正确.

故选：BD

10．关于空间向量，以下说法正确的是（????）

A．已知任意非零向量，若，则

B．若对空间中任意一点，有，则四点共面

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若空间四个