第七章　§7.5　垂直关系.docxVIP

一、单项选择题

1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，则下列命题中是假命题的为()

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的投影O是△ABC的()

A．内心 B．外心

C．重心 D．垂心

3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC内的投影H必在()

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．△ABC内部

4．(2023·景德镇模拟)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是()

A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n

C．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

5．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．

在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为()

A．0B．1C．2D．3

6．在正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角为60°，则AC与平面BCD夹角的正切值为()

A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．1

二、多项选择题

7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是()

A．CD⊥PD

B．AB⊥PC

C．平面PBD⊥平面PAC

D．E，F，C，D四点共面

8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2eq\r(3).则下列说法正确的有()

A．CD⊥平面EDP

B．四棱锥P－EBCD外接球的体积为4eq\r(3)π

C．二面角P－CD－B的大小为eq\f(π,4)

D．直线PC与平面EDP夹角的正切值为eq\r(2)

三、填空题

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有________个．

10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为eq\f(\r(5)－1,2)，则它的侧棱与底面夹角的正切值约为________．

11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________.

四、解答题

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.

求证：(1)CD⊥平面PBD；

(2)平面PBC⊥平面PCD.

14.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，PD＝eq\r(2).

(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；

(2)求直线PB与直线CD夹角的大小；

(3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论．

15．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是()

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值

C．异面直线AP与A1D夹角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))

D．直线C1P与平面A1C1D夹角的正弦值的最大值为eq\f(\r(6),3)

16．已知四