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考研数学二分类模拟261

解答题

1.?计算二重积分，其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}．

正确答案：

解：令u=x-1，v=y-1，则D变为D={(u，v)|u2+v2≤2，v≥u}，且于是

??

[考点]二重积分的计算．

??[解析]本题的积分区域较复杂，可先换元再计算二重积分．

?

2.?设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，在区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

正确答案：

解：y=y(x)在点P处的切线方程为Y-y=y(X-x)．令Y=0，则于是，故由2S1-S2=1知

??

??两边对x求导，得从而yy-(y)2=0．

??令y=p(y)，则

??由于y(0)=1，又对令x=0得y(0)=1，从而C1=1，C2=0，故所求曲线方程为y=ex.

[考点]微分方程的几何应用，可降阶的微分方程的解法．

??[解析]根据2S1-S2=1，便能得到一个含变限积分的等式，两边求导，就能得到一个形如y=f(y，y)的可降阶的微分方程．

??对令x=0可得y(0)=1，用于确定通解中一个任意常数的取值．

?

3.?设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且求f(0)，f(0)，f(0)的值．

正确答案：

解：由题意得

??

??

??只有f(0)=-1，f(0)=0，从而求得f(0)=-1，f(0)=0，

[考点]已知极限求抽象函数的导数．

??[解析]利用泰勒公式求解．

?

4.?设不定积分的结果中不含对数函数，求常数α，β，γ，δ应满足的充分必要条件，并计算此不定积分．

正确答案：

解：对于部分分式

??

??若A≠0，则积分之后会出现对数函数；若C≠0，则也会出现对数函数，因此A=0且C=0．

??将它们代入式①后通分，并令两边分子相等，得

??αx3+βx2+γx+δ=B(x2+x+1)+D(x-1)2

??=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D).

??所以α=0，β=B+D，γ=B-2D，δ=B+D，从而推得α=0，β=δ以及γ可以任意．

??当满足上述条件时，被积函数为，因此，

??

[考点]有理分式的不定积分求解．

??[解析]用待定系数法进行分式分解求不定积分．

??计算有理函数的积分时，要将有理分式分解为部分分式，但必须熟悉分解原理，最终将其化为

??

??这4种形式．

?

已知函数f(x)=e-xsinx，求：

5.?∫f(x)dx．

正确答案：

解：由分部积分知

[考点]有关周期函数定积分的计算．

??[解析]根据函数的周期性利用区间的可加性求解．

??这是一道综合性较强的题目，先根据|sinx|的周期性划分积分区间，去掉被积函数中的绝对值，然后再计算定积分．

?

6.?

正确答案：

解：令，又因为

??|sinx|=(-1)(k+1)sinx，x∈[(k-1)π，kπ]，

??coskπ=(-1)k，sinkπ=0，

??所以

??

[考点]有关周期函数定积分的计算．

?

7.?证明：．

正确答案：

证明：由题意，有

??

[考点]周期函数的定积分与旋转体的体积．

??[解析]根据周期性证明积分等式，利用定积分确定旋转体的体积，并求相关极限值．

??这是一道综合性较强的题目，根据|sinx|的周期性划分积分区间，利用已证明的等式求极限．

?

8.?设f(x)=|sinx|在[0，(2n-1)π](n≥1)上与x轴所围区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为Vn，求．

正确答案：

解：如下图所示，有

??

??所以

??

??

[考点]周期函数的定积分与旋转体的体积．

?

9.?求积分

正确答案：

解：因为

??

[考点]定积分的计算．

??[解析]用对称区间上定积分的性质求解．

??设f(x)连续，则常见的积分等式为

??

?

10.?设矩阵证明AX=B有解，但BY=A无解的充分必要条件是a≠2，b=2．

正确答案：

解：首先容易得|A|=12(a-2)，且

??

??所以当a≠2，b=2时，矩阵A可逆，B不可逆，那么矩阵方程AX=B一定有解X=A-1B.而若矩阵方程BY=A有解，不妨设为Y0，那么对BY0=A取行列式可得|B||Y0|=|A|≠0，由此可知B也可逆，矛盾，所以矩阵方程BY=A无解．

??反之，若b≠2，则矩阵B可逆，所以矩阵方程BY=A一定有解y=B-1A，于是若BY=A