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考研数学二分类模拟265

解答题

1.?设函数f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=1，若对任意的正数a，b，积分与a无关，求不定积分∫f(ex+1)dx．

正确答案：

解：(1)令由题意知F(a)=f(ab)b-f(a)=0，即f(ab)b=f(a)．取a=1，又f(1)=1，所以f(b)b=1(b＞0)，即

??(2)

??

[考点]定积分的性质及不定积分求解．

??[解析]先根据变限积分的求导公式确定被积函数的表达式，然后求解不定积分．

??这是变限积分性质和不定积分综合运算的题目，要理解变限积分与积分变量无关，其导函数为零．

?

2.?求不定积分∫x3ln(1+x)dx.

正确答案：

解：

??

??

[考点]幂函数与对数函数(反三角函数)乘积的不定积分求解．

??[解析]分部积分法．

??(1)形如∫xnlmxdx，取u(x)=lnmx，v(x)=xn．

??(2)形如∫xnarctanxdx，∫xnarccotxdx，∫xnarcsinxdx，∫xnarccosxdx，取u(x)为反三角函数，v(x)=xn．

?

3.?求当x＞0，y＞0，z＞0时，函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz在球面x2+y2+z2=5r2上的最大值，并利用上述结果证明：对任意正数a，b，c，有

正确答案：

解：设L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2-5r2)，令

??

??解得唯一可能的极值点

??由题意，当x＞0，y＞0，z＞0时f(x，y，z)在x2+y2+z2=5r2上有最大值，故最大值为

??于是，从而x2y2z6≤27r10.

??令x2=a，y2=b，z2=c，又由于x2+y2+z2=5r2，故

??

[考点]多元函数的条件极值，证明不等式．

??[解析]本题应先用拉格朗日乘数法求条件最值，再通过换元来证明不等式．

?

求函数极限：

4.?．

正确答案：

解：令x=t+1，则

[考点]函数在一点处的极限求解．

??[解析]变量代换求解函数极限．

??当x→x0≠0时的极限不易求解时，可先作变换，将t=x-x0化为t→0，再运用常用等价无穷小代换简化求解过程．

?

5.?

正确答案：

解：令x=t+1，则

??

??又

??

[考点]函数在一点处的极限求解．

?

6.?已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，，且满足，求f(x)．

正确答案：

解：由知

??

[考点]幂指函数极限的计算，导数定义与微分方程的综合题．

??[解析]利用导数定义，可根据得到一个微分方程，解此方程便能求出f(x)．

?

7.?设向量组(A)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T，向量组(B)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T，问：

??(1)当a满足什么条件时，向量组(A)与(B)等价?

??(2)当a满足什么条件时，向量组(A)与(B)不等价?

正确答案：

解：记P=(α1，α2，α3)，Q=(β1，β2，β3)，对P，Q进行初等行变换，化为阶梯形，有

??

??由此可知β1，β2，β3线性无关．

??(1)当a≠-2时，显然P，Q可逆，从而向量组(A)与(B)等价．

??(2)当a=-2时，由于r(P)=2，r(Q)=3，所以向量组(A)与(B)不等价．

[考点]向量组的等价．

??[解析]利用向量组等价的充分必要条件求解．

??注意到向量组(B)，即

??β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+b)T，β3=(2，1，a+4)T

??是线性无关的，所以是否等价的问题就变成了向量组(A)，即

??α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T

??是否线性无关的问题．

?

8.?计算不定积分

正确答案：

解：解法1令t=arctanx，则

??

??解法2

??

[考点]不定积分的综合运算．

??[解析]换元法结合分部积分法求不定积分．

??在对复杂函数的不定积分求解时，应仔细分析被积函数的特点，利用恒等变形或变量代换简化解题过程．

?

设f(x)在(-∞，+∞)内连续，且

9.?求F(x)(x≠0)．

正确答案：

解：将原式改写为

??

??由变限积分的性质和可导性运算法则可知，当x≠0时，

??

[考点]积分上限函数性质的应用．

??[解析]利用变限积分的可导性判断单调性．

??对于变限积分还应知道F(a)=0，

??

?

10.?证明：F(x)在x=0处连续，且若f(x)在(-