考研数学二分类模拟266.docxVIP

考研数学二分类模拟266

解答题

1.?求初值问题的解．

正确答案：

解

??

[考点]齐次方程的求解．

??[解析]原方程可化为，是齐次方程．

??本题应注意的求法．

?

2.?设函数试判断在点(0，0)处的连续性．

正确答案：

解：当x2+y2＞0时，

??

??当x2+y2=0时，

??

??可见，极限值随着k的变化而变化，故极限不存在，从而在点(0，0)处不连续．

[考点]二元函数偏导数、偏导数连续的概念．

??[解析]本题应先求出的表达式，再判断其连续性．

??本题的关键在于证明不存在．

?

设线性方程组

3.?证明：若a1，a2，a3，a4两两互不相同，则方程组无解．

正确答案：

解：由已知得

??

??由a1，a2，a3，a4两两不相等，知，从而矩阵的秩．

??但系数矩阵A的秩r(A)≤3，故，因此原方程组无解．

[考点]具体型非齐次线性方程组求通解．

??[解析](1)利用范德蒙行列式得到增广矩阵的秩；

??(2)利用解的结构求解．

??本题未知量系数和常数的排列是有规律的，因此首先要利用范德蒙行列式来确定增广矩阵的秩，第二问也不需要对增广矩阵作初等变换，只利用解的结构即可．

?

4.?设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T是该方程组的两个解，求方程组的通解．

正确答案：

解：当a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)时，方程组为

??

??因，从而方程组对应的导出方程组的基础解系应含有3-2=1个解向量．

??又因β1，β2是原非齐次线性方程组的两个解，故是对应齐次线性方程组的解，且ξ≠0，因此ξ是导出方程组的基础解系．

??于是，原非齐次线性方程组的通解为(c为任意常数)．

?

5.?设函数f(x)在[a，b]上连续且恒大于零，证明

正确答案：

证明：记D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，则

??

??根据轮换对称性有

??

??由基本不等式可知

??

[考点]积分不等式的证明，二重积分的对称性．

??[解析]由于

??

??而D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}关于y=x对称，故可考虑利用二重积分的对称性．

??本题的关键在于要想到利用二重积分的对称性．

?

已知曲线(a＞0)与曲线在点(x0，y0)处有公共切线．求：

6.?常数a的值及切点(x0，y0)．

正确答案：

解：

??因为(x0，y0)是公共切点，所以有

??

??解得

??a=e-1，x0=e2，y0=1．

[考点]定积分的几何应用．

??[解析]用定积分求平面区域的面积及旋转体的体积．

?

7.?两曲线与x轴围成的平面区域的面积．

正确答案：

解：面积为

??

??

[考点]定积分的几何应用．

?

8.?该图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积．

正确答案：

解：体积为

??

[考点]定积分的几何应用．

?

已知函数

9.?求a的值．

正确答案：

解：因为

??

??故a=1.

[考点]函数极限计算与无穷小阶的比较．

??[解析]计算极限判断无穷小阶．

??无穷小阶的比较是考研数学中的重点和难点，其主要方法是将其转化为相应的极限求解．

?

10.?若当x→0时，f(x)-a与xk是同阶无穷小，则求常数k的值．

正确答案：

解：由第一问可知a=1，则

??

??故k+2=3，即当k=1时，f(x)-a与xk是同阶无穷小(x→0)．

[考点]函数极限计算与无穷小阶的比较．

?

11.?若函数f(x)在[a，b]上连续，且a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，证明：在[x1，xn]上必存在ξ，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，其中λi＞0，λ1+λ2+…+λn=1，i=1，2，…，n．

正确答案：

解：因为f(x)在[a，b]上连续，又，所以f(x)在[x1，xn]上连续，从而f(x)在[x1，xn]上必有最大值和最小值．设M=max{f(x)|x1≤x≤xn}，m=min{f(x)|x1≤x≤xn}，则m≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)≤M.

??若m＜λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)＜M，则由连续函数的介值定理知，ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

??若m=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，则有f(x1)=f(x2)=…=f(xn)=m，任取x2，…，xn-1中一点作为ξ，即有ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．