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考研数学二分类模拟268

选择题

1.?如下图所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于______．

??

A.曲边梯形ABOD的面积

B.梯形ABOD的面积

C.曲边三角形ACD的面积

D.三角形ACD的面积

正确答案：C

[考点]定积分的几何意义．

??[解析]利用分部积分法转化被积函数．其中af(a)是矩形ABOC的面积，是曲边梯形ABOD的面积(见下图)，因此，是曲边三角形ACD的面积，故选C．

??

??本题主要考查定积分的几何意义．

?

2.?下列反常积分

??

??中收敛的是______．

A.(1)，(2)

B.(1)，(3)

C.(2)，(4)

D.(3)，(4)

正确答案：B

[考点]反常积分收敛的判别．

??[解析]利用反常积分的定义判别收敛性．

??对于积分(1)，有

??

??故积分(1)收敛．

??对于积分(3)，有

??

??故积分(3)收敛．

??因此选B．

??本题中都是发散的．

?

3.?下列四个命题：

??(1)若f(x)在x=x0处可导，则|f(x)|在x=x0处可导．

??(2)若|f(x)|在x=x0处可导，则f(x)在x=x0处可导．

??(3)若f(x)在x=x0处可导，且f(x0)=0，f(x0)≠0，则|f(x)|在x=x0处不可导．

??(4)若f(x)在x=x0处连续，且|f(x)|在x=x0处可导，则f(x)在x=x0处可导．

??正确的命题个数是______．

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

[考点]导数的定义．

??[解析]反例结合单侧导数的定义．

??对于命题(1)，设f(x)=x，x0=0，显然f(x)在x0=0处可导，但是|f(x)|=|x|在x0=0处不可导，命题错误．

??对于命题(2)，设显然f(x)在x=x0处不连续、不可导，但是|f(x)|=1在x=x0处可导，命题错误．

??对于命题(3)，由题意得，则

??

??又因为f(x0)≠0，则，所以g(x)在x=x0处不可导，命题正确．

??对于命题(4)，若f(x0)≠0，不妨令f(x0)＞0，又f(x)在x=x0处连续，则，由函数极限的局部保号性知，存在x0的某邻域，使得f(x)＞0，从而g(x)=|f(x)|=f(x)．由g(x)=|f(x)|在x=x0处可导知，f(x)在x=x0处可导．对于f(x0)＜0可类似说明．若f(x0)=0，则由g(x)=|f(x)|在x=x0处可导知，存在，而即f(x)在x=x0处可导，命题正确．

??故应选C．

?

4.?若反常积分收敛，则______．

A.a＜1且b＞1

B.a＞1且b＞1

C.a＜1且a+b＞1

D.a＞1且a+b＞1

正确答案：C

[考点]用反常积分收敛判别未知常数的范围．

??[解析]利用已知反常积分的比较判别法来判断．

??

??

??故应选C.

??熟记如下结论：

??(1)对于无穷区间上的反常积分当p＞1时收敛；当p≤1时发散．

??(2)对于无界函数的反常积分，当q＜1时收敛；当q≥1时发散．

?

5.?设函数f(x)=x2(x-1)(x-2)，则f(x)的零点个数为______．

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C

[考点]罗尔定理的应用．

??[解析]用罗尔定理证明导函数零点的存在性．

??因为f(x)=x2(x-1)(x-2)在(-∞，+∞)内连续可导，且f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理知，f(x)在(0，1)和(1，2)内各有一个零点．

??又，又因为f(x)为4次多项式，所以f(x)为3次多项式，其至多有3个零点，故应选C．

??应用罗尔定理可以证明导函数零点的存在性．

?

6.?设实对称矩阵A交换第i，j行，再交换第i，j列变成矩阵B，则下列命题正确的个数是______．

??(1)A和B等价；

??(2)A和B相似；

??(3)A和B合同；

??(4)|A|=|B|；

??(5)r(A)=r(B)；

??(6)A和B与同一个对角矩阵相似．

A.3

B.4

C.5

D.6

正确答案：D

[考点]初等矩阵，矩阵的等价关系．

??[解析]先利用初等矩阵写出A与B的关系，再根据初等矩阵的性质，得到A与B的等价关系．

??令E(i，j)表示单位矩阵交换第i，j行得到的初等矩阵，则有

??ET(i，j)=E(i，j)，E-1(i，j)=E(i，j).

??根据条件，E(i，j)AE(i，j)=B，从而ET(i，j)AE(i，j)=E-1(i，j)AE(i，j)=B，所