大招5平行四边形定理.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

大招5??平行四边形定理

1．平行四边形定理

若四边形为平行四边形（如图），则．

证明因为四边形是平行四边形，所以，，

且，在中使用余弦定理有，

在中使用余弦定理有，

所以．

2．平行四边形定理的应用

平行四边形定理常用于解决三角形中线长的相关问题．如图所示，在中，如果是的中点，我们倍长中线即可得到平行四边形，根据平行四边形定理有，于是就有，因此得到与，这样就能较为快速地处理中线长相关问题．

注：平行四边形定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下．

【典例1】在中，.

（1）求；

（2）求边上的中线.

【大招指引】（1）计算，根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案；（2）是中点，连接，根据平行四边形定理计算即可.

（1）因为，，故，

所以，解得，

故，故.

（2）如图所示，是中点，连接，

根据平行四边形定理可得，

则，

解得，即边上的中线为.

【题后反思】因为本题第（1）问已经求得三角形的三边长而求中线长，所以容易联想到平行四边形定理进行求解.

【温馨提醒】平行四边形定理给出了平行四边形的四边和两条对角线的关系，而三角形的中线相当于对角线的一半，必要时可构造平行四边形.

【举一反三】

1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

(1)求B；

(2)若的周长为，求BC边上中线的长．

【典例2】已知的内角，，的对边分别为，，，且满足

（1）求角的大小；

（2）若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长.

【大招指引】（1）由余弦定理得：，再由正弦定理得：，再分析求解即可；（2）设，，由余弦定理求出，再利用平行四边形定理求出即可求解.

（1）由余弦定理得：，所以，

由正弦定理得：，因为，所以，

所以，，即或

（2）设等腰三角形腰长为，

即，，且由于，，

在中，，解得，

设BC的中点为D，如图所示:

根据平行四边形定理可得，

则，解得：，

所以，

则的周长为．

【题后反思】因为本题中已经求得三角形的三边长、以及中线长，所以容易联想到平行四边形定理进行求解.

【温馨提醒】

利用平行四边形定理解决三角形的中线长问题，体现了“知三求一”的思想.

【举一反三】

2．在中，，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为．

【典例3】在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（）

A．????B．6????C．????D．9

【大招指引】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值.

根据平行四边形定理可得，

即，又因为，且，

所以，即，

设，，

由得，

则，（当且仅当，即，是取等），

∴周长的最大值为6．

故选：B

【题后反思】因为本题中已经求得三角形的边长以及中线长而寻求三边关系，所以容易联想到平行四边形定理进行求解.

【温馨提醒】利用平行四边形定理解决三角形的中线长的最值问题时，要主要合理构造平行四边形，进而得到三边与中线长的关系.

【举一反三】

3．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为．

4．在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

问题：在中，角的对边分别为，且__________．

(1)求；

(2)若为边的中点，且，求中线长．

5．已知的内角，，的对边分别为，，，，且.

(1)求的大小

(2)在下列条件①②中选择一个作为已知条件，求的面积.

①的周长为；②边上的中线的长为.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

6．已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：

(1)求角的大小；

(2)求边中线长的最小值.

条件①：;

条件②：.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

1．(1)

(2)．

【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求.

（2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC边上中线的长．

【详解】（1）由，有，

又，所以，即，

由余弦定理，得．

又，所以，

由及正弦定理，得，所以，

由，得，所以，解得.

（2）由（1）可知，，所以，

所以，由，得．

因为的周长为，

所以，解得．

设BC的中点为D，则，如图所示:

在中由余弦定理，得：

，

所以BC边上中线的长为．

2．1

【分析】设D为边的中点，