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考研数学二分类模拟题37

一、填空题

1.?设，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为______．

正确答案：

(C1，C2为任意常数)

[解析]因为AX=0有非零解，所以|A|=0，

??而且a＜0，所以a=-4．

??因为r(A)=2，所以r(A*)=1．

??因为A*A=|A|E=O，所以A的列向量组为A*X=0的解，

??故A*X=0的通解为(C1，C2为任意常数)．

?

2.?设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n-1，则方程组AX=0的通解为______．

正确答案：

(其中k为任意常数)．

[解析]k(1，1，…，1)T，其中k为任意常数．因为A的各行元素之和为零，所以又因为r(A)=n-1，所以为方程组AX=0的基础解系，从而通解为(其中k为任意常数)．

?

3.?设A为n阶矩阵，且|A|=0，Aki≠0，则AX=0的通解为______．

正确答案：

C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)

[解析]因为|A|=0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而(A)=n-1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=|A|E=O，所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．

?

4.?设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是______．

正确答案：

k1+k2+…+ks=1

[解析]k1，k2，…，ks=1．显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．

?

5.?设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=______，|B|=______．

正确答案：

1?0

[解析]令，因为B的列向量为方程组的解且B≠O，所以AB=O且方程组有非零解，故|A|=0，解得k=1．因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故|B|=0．

?

6.?设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，r(A)=3，且，则方程组AX=b的通解为______．

正确答案：

(k为任意常数)

[解析]因为r(A)=3，所以方程组AX=b的通解为kξ+η，其中，于是方程组的通解为(k为任意常数)．

?

7.?设方程组无解，则a=______．

正确答案：

-1

[解析]因为方程组无解，所以，于是r(A)＜3，即|A|=0．由|A|=3+2a-a2=0，得a=-1或a=3．当a=3时，因为，所以方程组有无穷多个解；

??当a=-1时，，因为，所以方程组无解，于是a=-1．

?

8.?设方程组有解，则α1，α2，α3，α4满足的条件是______．

正确答案：

α1+α2+α3+α4=0

[解析]

??因为原方程组有解，所以，于是α1+α2+α3+α4=0．

?

二、选择题

1.?设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是______．

A.若方程组AX=0只有零解，则方程组AX=b有唯一解

B.若方程组AX=0有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解

C.若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解

D.若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=0一定有非零解

正确答案：D

[解析]方程组只有零解，而无解，故A不对；

??方程组有非零解，而无解，故B不对；

??方程组无解，但只有零解，故C不对；

??若AX=b有无穷多个解，则，从而r(A)＜n，故方程组AX=0一定有非零解，选D．

?

2.?设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是______．

A.若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解

B.若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解

C.若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解

D.若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解

正确答案：D

[解析]因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，于是，即方程组AX=b一定有解，选D．

?

3.?设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，-1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为______．

A.α1，α3

B.α2，α3，α4

C.α1，α2，α4

D.α3，α4

正