大招8万能公式.docx

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大招8??万能公式

1.万能公式:

2.万能公式的证明:

=;

=;

=.

理论上上所有公式都是万能公式.但是真正提起万能公式的时候,是指三角函数中的正切半角公式,或称以切表弦公式.这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示,实现化简的目的.

【典例1】已知,则()

A.????B.-1????C.????D.

【大招指引】应用诱导公式、商数关系可得,再由和角正切公式展开求得,最后利用万能公式由求值即可.

【解析】由,

所以,则,

所以,则,故,

由.

【题后反思】解决本题的关键是发现和,再选择诱导公式和万能公式进行求解

【温馨提醒】万能公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示,起到减少计算量的目的.

【举一反三】

1.已知,则.

【典例2】函数的最大值为()

A.????B.????C.????D.

【大招指引】利用万能公式统一三角函数名,再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.

【解析】由万能公式得,,

代入原式并化简得,

令,故原式转化为,

当且仅当时取等,显然最大值为.

故选:D

【题后反思】本题中求也可以利用导数法:

因为,

所以当,即时,取到最大值.

【温馨提醒】万能公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示,转化为函数问题.

【举一反三】

2.若,则函数的值域为__________.

3.已知,则(????)

A. B. C. D.

4.若,则(????)

A. B. C. D.1

5.已知,且,则的最大值为(????)

A. B. C. D.

6.已知则的值为.

7.已知内角分别为,且满足,则的最小值为.

答案第=page11页,共=sectionpages22页

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参考答案:

1.

【分析】由条件等式右边含有,可联想到中分离出来处理,设,待求表达式中用表示,结合万能公式进行求解.

【详解】设,于是,

整理可得,根据万能公式,,

整理可得,

由可得,,

故,

根据诱导公式,,

根据两角和的正切公式,,

故.

故答案为:

2.

【分析】当时,令,,然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解

【详解】当时,,

当时,令,

因为,所以,所以

所以在R是奇函数

当时,,

其中时,取得等号

所以

当,根据奇函数性质

当时,

所以的值域为;

综上,f(x)的值域为

故答案为:

3.A

【分析】先将两表达式结合诱导公式化简,再结合万能公式即可求解

【详解】,

故选:A

【点睛】本题考查诱导公式和万能公式的使用,属于基础题

4.C

【分析】将用替换后,解方程解出即可.

【详解】因为,

可得,

可得,

解得,因为,所以,

所以,

所以.

故选:C.

5.B

【分析】

由条件可得,然后化为,利用均值不等式可得出答案.

【详解】,即;

即,故

令,则(当且仅当时等号成立)

故选:B.

6.

【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得,再由求得,可得结论.

【详解】,

所以,

所以.

故答案为:.

7.16

【分析】

由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得,进而有,结合,将目标式化为,应用基本不等式求最小值即可.

【详解】由题设,

所以,

所以,即,

又,,

则,

当且仅当时取等号,

所以的最小值为.

故答案为:

【点睛】关键点点睛:应用三角恒等变换将条件化为,再应用万能公式用正切表示正弦为关键.

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