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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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大招8??万能公式
1.万能公式:
2.万能公式的证明:
=;
=;
=.
理论上上所有公式都是万能公式.但是真正提起万能公式的时候,是指三角函数中的正切半角公式,或称以切表弦公式.这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示,实现化简的目的.
【典例1】已知,则()
A.????B.-1????C.????D.
【大招指引】应用诱导公式、商数关系可得,再由和角正切公式展开求得,最后利用万能公式由求值即可.
【解析】由,
所以,则,
所以,则,故,
由.
【题后反思】解决本题的关键是发现和,再选择诱导公式和万能公式进行求解
【温馨提醒】万能公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示,起到减少计算量的目的.
【举一反三】
1.已知,则.
【典例2】函数的最大值为()
A.????B.????C.????D.
【大招指引】利用万能公式统一三角函数名,再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.
【解析】由万能公式得,,
代入原式并化简得,
令,故原式转化为,
当且仅当时取等,显然最大值为.
故选:D
【题后反思】本题中求也可以利用导数法:
因为,
所以当,即时,取到最大值.
【温馨提醒】万能公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示,转化为函数问题.
【举一反三】
2.若,则函数的值域为__________.
3.已知,则(????)
A. B. C. D.
4.若,则(????)
A. B. C. D.1
5.已知,且,则的最大值为(????)
A. B. C. D.
6.已知则的值为.
7.已知内角分别为,且满足,则的最小值为.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
答案第=page11页,共=sectionpages22页
参考答案:
1.
【分析】由条件等式右边含有,可联想到中分离出来处理,设,待求表达式中用表示,结合万能公式进行求解.
【详解】设,于是,
整理可得,根据万能公式,,
整理可得,
由可得,,
故,
根据诱导公式,,
根据两角和的正切公式,,
故.
故答案为:
2.
【分析】当时,令,,然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解
【详解】当时,,
当时,令,
则
因为,所以,所以
所以在R是奇函数
当时,,
其中时,取得等号
所以
当,根据奇函数性质
当时,
所以的值域为;
综上,f(x)的值域为
故答案为:
3.A
【分析】先将两表达式结合诱导公式化简,再结合万能公式即可求解
【详解】,
故选:A
【点睛】本题考查诱导公式和万能公式的使用,属于基础题
4.C
【分析】将用替换后,解方程解出即可.
【详解】因为,
可得,
可得,
解得,因为,所以,
所以,
所以.
故选:C.
5.B
【分析】
由条件可得,然后化为,利用均值不等式可得出答案.
【详解】,即;
即,故
令,则(当且仅当时等号成立)
故选:B.
6.
【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得,再由求得,可得结论.
【详解】,
所以,
,
所以.
故答案为:.
7.16
【分析】
由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得,进而有,结合,将目标式化为,应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题设,
所以,
所以,即,
又,,
则,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:应用三角恒等变换将条件化为,再应用万能公式用正切表示正弦为关键.
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