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考研数学二分类模拟题40

一、填空题

1.?二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+4x2x3的矩阵为______．

正确答案：

[解析]因为，所以

?

2.?设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为______．

正确答案：

[解析]令β3=α3，

??正交规范化的向量组为

?

3.?设二次型的秩为2，则a=______．

正确答案：

[解析]该二次型的矩阵为，因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得．

?

4.?设为正定二次型，则t的取值范围是______．

正确答案：

t＞2

[解析]二次型的矩阵为，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，，|A|＞0，解得t＞2．

?

二、选择题

1.?设A，B为n阶可逆矩阵，则______．

??A．存在可逆矩阵P1，P2，使得为对角矩阵

??B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得为对角矩阵

??C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵

??D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B

正确答案：D

[解析]因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．

?

2.?n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是______．

A.A无负特征值

B.A是满秩矩阵

C.A的每个特征值都是单值

D.A*是正定矩阵

正确答案：D

[解析]A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，A不对；

??若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B不对；

??C既不是充分条件又不是必要条件；

??显然D既是充分条件又是必要条件．

?

3.?下列说法正确的是______．

A.任一个二次型的标准形是唯一的

B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同

C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型

D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的

正确答案：D

[解析]A不对，如f=x1x2，．令，则；若令则

??B不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；

??C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；

??选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．

?

4.?设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X______．

A.规范形与标准形都不一定相同

B.规范形相同但标准形不一定相同

C.标准形相同但规范形不一定相同

D.规范形和标准形都相同

正确答案：B

[解析]因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选B．

?

5.?设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是______．

A.可逆矩阵

B.实对称矩阵

C.正定矩阵

D.正交矩阵

正确答案：B

[解析]因为A与对角阵，合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP=，从而A=(PT)-1P-1=(P-1)TP-1，AT=[(P-1)TP-1]T=(P-1)TP-1=A，选B．

?

6.?设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则______．

A.A，B合同

B.A，B相似

C.方程组AX=0与BX=0同解

D.r(A)=r(B)

正确答案：D

[解析]因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选D．

?

7.?设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是______．

A.r(A)=r(B)

B.|A|=|B|

C.A～B

D.A，B与同一个实对称矩阵合同

正确答案：D

[解析]因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选D．

?

8.?设，则A与B______。

A.相似且合同

B.相似不合同

C.合同不相似

D.不合同也不相似

正确答案：C

[解析]由|λE-A|=0得A的特征值为1，3，-5，由|λE-B|=0得B的特征值为1，1，-1，所以A与B合同但不相似，选C．

?

9.?设A，B为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：

??(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为______．

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

正确答案：B

[解析]因为A，B的特征值为-2，1，1．所以|A|=|B|=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选B．

?

三、解答题

1.?用配方法化二次型为标准二次型