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考研数学二分类模拟题73

解答题

1.?设，求：(1)2A11+A12-A13；(2)A11+4A21+A31+2A41．

正确答案：

[解]

??

?

2.?设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=1/3，求|4A-(3A*)-1|．

正确答案：

[解]由

??|4A-(3A*)-1|=|4A-A|=3A|=27|A|=9.

?

3.?A是三阶矩阵，三维列向量组β1，β2，β3线性无关，满足Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2，求|A|.

正确答案：

[解]

??令B=(β1，β2，β3)，由Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2得

??，两边取行列式得

??

??因为β1，β2，β3线性无关，所以B可逆，故|A|=2.

?

4.?设，其中A可逆，求B-1．

正确答案：

[解]由初等变换的性质得

??B=AP1P2，则

?

5.?设A，B为三阶矩阵，满足AB+E=A2+B，E为三阶单位矩阵，又知求矩阵B．

正确答案：

[解]由AB+E=A2+B得

??(A-E)B=A2-E，

??，因为|A-E|≠0，所以A-E可逆，

??从而

?

6.?已知，AP=PB，求A与A5．

正确答案：

[解]由AP=PB得A=PBP-1，

??由

??

?

7.?设矩阵满足A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E，求C．

正确答案：

[解]由A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E得

??C(E-BBTA-1)A=E，即C(A-BBT)=E，解得

??C=(A-BBT)-1．

??由

??由得

??

?

8.?解方程

正确答案：

[解]令X=(X1，X2)，

??由得

??

??故

?

9.?设向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α4的秩分别为(Ⅰ)=2，秩(Ⅱ)=3.证明向量组α1，α2，α3+α4的秩等于3.

正确答案：

[证明]由向量组(Ⅱ)的秩为3得α1，α2，α4线性无关，从而α1，α2线性无关，由向量组(Ⅰ)的秩为2得α1，α2，α3线性相关，

??从而α3可由α1，α2线性表示，令α3=k1α1+k2α2．

??

??由

??故r(α1，α2，α3+α4)=r(α1，α2，α4)=3.

?

10.?已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解．

正确答案：

[解]

??

??(1)当k1≠2时，方程组有唯一解；

??(2)当k1=2时，

??

??情形一：k2≠1时，方程组无解；

??情形二：k2=1时，方程组有无数个解，

??由

??原方程组通解为

?

11.?设向量组

??试问：当a，b，c满足什么条件时

??(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一；

??(2)β不能由α1，α2，α3线性表出；

??(3)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式．

正确答案：

[解]

??(1)当a≠-4时，β可由α1，α2，α3唯一线性表示．

??当a=-4时，

??

??(2)当c-3b+1=0时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示方法不唯一，

??由

??

??则

??(3)当c-3b+1≠0时，β不可由α1，α2，α3线性表示．

?

12.?设线性方程组

??(1)求线性方程组(Ⅰ)的通解；

??(2)m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有公共非零解；

??(3)m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．

正确答案：

[解]令

??(1)由

??方程组(Ⅰ)的通解为

??(2)

??当m=-2或n=3时，两个方程组有公共的非零解．

??(3)当m=-2，n=3时，两个方程组同解．

?

设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为且已知另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T．

13.?求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；

正确答案：

[解]

??方程组(Ⅰ)的基础解系为

?

14.?当a为何值时，方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)有非零公共解?

正确答案：

[解](Ⅱ)的通解为

??

??代入(Ⅰ)得

??

??整理得

??因为两个方程组有公共的非零解，所以l1，l2不全为零，

??从而，解得a=-1或a=0.

?

15.?已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征向量．

正确答案：

[解]因为0为A的特征值，所以，解得a=1.

??由得λ1=0，λ2=λ3=2.

??λ1