2.2直线的方程（九个重难点突破）（解析版）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）.docx

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2.2直线的方程

一、点斜式方程及其辨析

六、一般式方程及其辨析

二、斜截式方程及其辨析

七、直线的定点问题

三、两点式方程及其辨析

八、已知直线的位置关系求参数

四、截距式方程及其辨析

九、已知直线的位置关系求直线方程

五、直线与坐标轴围成的面积问题

知识点1直线的点斜式方程

1．点斜式方程的推导

如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即．

2．直线的点斜式方程

方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式．

（1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即

（2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或.

知识点2直线的斜截式方程

1．斜截式方程的推导

如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即.

2．直线的斜截式方程

我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距．

重难点一点斜式方程及其辨析

【例1】已知直线的方程是，则（????）

A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为

C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为

【答案】D

【详解】直线的方程可化为，

所以直线过定点，斜率为．

故选：D

【例2】（多选）经过点2,1，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】BC

【详解】由题意可知直线的斜率为，

当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得；

当直线的斜率为时，直线方程为，化简得.

故选：BC

【变式1-1】已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为．

【答案】

【详解】设直线的倾斜角为，

则斜率，又，故，

设直线的的倾斜角为，则，

直线的斜率，

又直线经过点，

则直线的点斜式方程为：.

故答案为：.

【变式1-2】已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为．

【答案】

【详解】记直线倾斜角为，由题知，

所以，所以，

由点斜式方程可得，即.

故答案为：

【变式1-3】写出满足下列条件的直线方程：

(1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；

(2)经过点，且与轴平行．

【答案】(1)

(2)．

【详解】（1）直线的斜率为，

直线的倾斜角为，

所求直线的倾斜角为，故其斜率为．

所求直线的点斜式方程为.

（2）与轴平行的直线，其斜率不存在，不能用点斜式方程表示．

但直线上点的横坐标均为5，

故直线方程可记为．

重难点二斜截式方程及其辨析

【例3】（多选）关于一次函数，下列结论正确的有（????）

A．当时，函数图象经过第一、二、三象限

B．当时，函数图象经过第一、三、四象限

C．，函数图象必经过第一、三象限

D．，函数在R上恒为减函数

【答案】ABC

【详解】若，，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确；

若，，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确；

若，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误．

故选：ABC

【例4】已知两点、，则直线的斜截式方程是．

【答案】

【详解】已知两点、，故直线的斜率，

则方程为：，整理得，

转化为直线的斜截式为．

故答案为：．

【变式2-1】若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为.

【答案】

【详解】因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为，

所以直线方程为：.

故答案为：.

【变式2-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程；

(2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程；

(3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标．

【答案】(1)；

(2)；

(3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为．

【详解】（1）直线的斜率，纵截距，

所以该直线的斜截式方程为.

（2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为，

所以该直线的斜截式方程为.

（3）直线方程化为，

所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为．

【变式2-3】已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程．

【答案】或

【详解】设直线方程为，则令得；令得，

由题意得，即，所