2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理（第2课时）教案.docx

第一章勾股定理

1探索勾股定理

第2课时勾股定理的证明及应用

教学目标

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.

2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.

教学重难点

重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

教学过程

导入新课

教师提出问题：

1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）

2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？

教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.

设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.

探究新知

一、预习新知

让学生自主预习课本第5页.

提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？

先让学生独立作图、验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.

设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.

二、合作探究

验证勾股定理

为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面两个图.

图1图2

问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？

学生先独立思考，再小组交流得到答案a+b2和2

问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？

学生：a+b2=2ab+c

从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.

教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？

问题3：图2中小正方形的边长是多少？

问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？

问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？

提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.

图2中小正方形边长是b－a，b－a2和c2－2ab都可以表示图2

从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图.

设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.

前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？

观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2

学生通过数格子的方法可以得出，如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足a2+

巩固练习

根据下图，利用面积法证明勾股定理．

证明：∵S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，

又∵S梯形ABCD=(a+b)2，S△BCE=S△EDA=ab，S△ABE=c2，

∴(a+b)2=2×ab+c2，

∴a2+b2=c2，即勾股定理得证．

典型例题

【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．

证明：a2+b2=c2.

【问题探索】从整体上看，这两个大正方形的边长都是a+b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．

【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，

∴它们的面积相等．

左边大正方形面积可表示为a2+b2+ab×4，

右边大正方形面积可表示为c2+ab×4.

∵a2+b2+ab×4=c2+ab×4，

∴a2+b2=c2.

【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．

典型例题

【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？

【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价=每千米造价×千米数.

【解】在Rt△OMN中，根据勾股定理得

MN2+ON2=OM2，

∴302+402=OM2，

∴OM=50km.

同理OQ=130km，

∴造价为（5