2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第一章勾股定理1.3勾股定理的应用教案.docx

第一章勾股定理

3勾股定理的应用

教学目标

1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.

2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.

教学重难点

重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.

难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.

教学过程

导入新课

游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?

探究新知

一、合作探究

【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.

【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？

(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？

(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

∵AB2=122+92，∴AB=15(cm).

答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm.

变式训练：

如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.?

答案：13

【探究2】应用勾股定理解决实际问题

【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.

【解】设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,AE的长度为（x-1）m.

在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

由勾股定理得AE2+CE2=AC2，

即(x-1)2+32=x2，

解得x=5.

故滑道AC的长度为5m.

变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.

(1)这架云梯的顶端距地面有多高?

(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?

解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.

根据题意252-72=242，

所以云梯顶端距地面有24米.

(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.

因为252-202=152,且15-7=8(米)，

所以云梯底部应水平滑动8米.

课堂练习

1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？

2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.

3.有一个水池，水面是一个边长为10尺1尺=m=m的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺

4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？

参考答案

1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC=1.5米，BC=2米.

∵AB2=AC2+CB2=2.52，

∴AB=2.5米.

∵油桶外的部分是0.5米，

∴AD=2.5+0.5=3(米).

当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米=2米.

答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.

2.25

3.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.

根据题意得x2+52=（x+1）2.

解得x=12.

x+1=12+1=13（尺）.

答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.

4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得

x2+82=(16-x)2,

解得x=6米.

答：旗杆在离底部6米的位置断裂.

课堂小结

确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.

布置作业

习题1.4第1，2，3，4题

板书设计

3勾股定理的应用

1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离

例1如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18