2024-2025学年北师版中学数学九年级上册 1.2矩形的性质与判定（第3课时） 教学课件.pptx

第一章特殊平行四边形第三课时第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定矩形的判定与性质的应用

学习目标1．回顾矩形的性质及判定方法．2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点)

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的特殊性质1.矩形的定义（Ａ）矩形的四个角都是直角.（Ｂ）矩形的对角线相等.3.矩形的判定(A)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(B)对角线相等的平行四边形是矩形.(C)有三个角是直角的四边形是矩形.知识回顾

24September20244、直角三角形的性质及判定方法角：直角三角形两锐角互余。线段：边角关系：（1）勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。（1）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。ABCD

例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.矩形的性质与判定综合运用例题讲解

?【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.

（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°.∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°.∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形.（1）求证：四边形ADCE为矩形；分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形.

解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形.（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形.

解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：∵四边形ADCE为矩形，∴AF=CF.∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF=AB.（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=AB.【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

例3：如图，在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.ADCEB

(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四边形ADCE是平行四边形,而∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.ADCEB

例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴