2024-2025学年北师版中学数学九年级上册第四章图形的相似与整理4.4探索三角形相似的条件（第4课时）教案.docx

第四章图形的相似

4探索三角形相似的条件

第4课时黄金分割

教学目标

1.知道黄金分割的定义和黄金比，并会找一条线段的黄金分割点.

2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.

3.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.

教学重难点

重点：了解黄金分割的意义，并能运用.

难点：找黄金分割点和画黄金矩形.

教学过程

知识回顾

通过前面的学习，三角形相似的判定方法有哪些？

相似三角形的定义、判定定理1，2，3.

导入新课

欣赏图片.

第一组：建筑中的黄金分割

文明古国古埃及的金字塔，形似方锥，大小各异，但这些金字塔的高与底面的边长之比都接近于0.618.

东方明珠广播电视塔，塔高约468米，设计师在约289米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.

第二组：人体与黄金分割

芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？

设计意图：通过建筑、摄影、艺术上的实例初步感受黄金分割，体会黄金分割在现实生活中的广泛应用和文化价值.

探究新知

一、预习新知

师：在五角星图案中，大家动手量一量线段AC，BC的长度，然后计算，,它们的值相等吗？

生：相等.

师：也就是.

由此得到结论：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.

一条线段有两个黄金分割点.

计算黄金比

若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC，BC间需满足.下面请大家进行验证，自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.

解：由=，得AC2=AB·BC.

设AB=1，AC=x，则BC=1－x.

∴x2=1×（1－x），

∴x2+x－1=0，

解得＝，＝（不合题意，舍去）.

所以，黄金比＝≈0.618.

二、合作探究

古希腊时期的巴台农神庙，将图①中的虚线表示的矩形，画成如图②中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，.

②

师：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？

生：因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE.又,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.

学,师：在上面这个矩形中，其宽与长的比是黄金比，所以这个矩形叫做黄金

矩形.,

巩固练习

若点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则下列说法中正确的是()

A．AB＝ B．AC＝eq\f(3－\r(5),2)AB

C．AB∶AC＝AC∶BC D．AC≈0.618BC

答案：C

典型例题

【例】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.试证明点D是线段AC的黄金分割点．

【问题探索】要证明点D是线段AC的黄金分割点，根据黄金分割的定义即可证明.

【证明】∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ACB＝∠ABC＝(180°－36°)＝72°.

∵BD平分∠ABC，交AC于点D，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°，

∴∠A＝∠DBC＝∠ABD，

∴∠BDC＝72°，∴AD＝BD＝BC.

又∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，

∴＝，∴BC2＝AC·CD，

∴AD2＝AC·CD.

即点D是线段AC的黄金分割点．

【总结】本题是先证明AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形对应边成比例得到＝，进而得到AD2＝AC·CD，这样就可以证明点D是线段AC的黄金分割点．来源:

课堂练习

1.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论中错误的是()

A.∠C＝2∠AB.BD平分∠ABC

C.S△BCD＝S△BODD.点D为线段AC的黄金分割点

2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝

10cm，则AC的长约为cm.(结果精确到0.1cm)

3.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PAPB.若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，那么S1S2(填“”“＝”或“”).

4.如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＝10，求AB·BC的值.

参考答案

1.C2.6.23.＝

4.解：∵点C是线段AB的黄金分割点，

∴，∴AB·BC＝AC2＝100.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.