湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题.docx

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湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（????）

A．20 B． C．0 D．24

3．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（????）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形

4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（）

①若，则为异面直线②若，则

③若，则④若，则

⑤若，，，则

A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③

5．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（????）

A．4 B． C． D．

6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（????）

A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4

C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0

7．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（????）

??

A．直线与所成的角不可能是

B．若，则二面角的平面角的正弦值为

C．当时，

D．当时，点到平面的距离为

8．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（????）

A．函数的对称中心为

B．若，则的最大值为

C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为

D．若，则

二、多选题

9．下列四个命题中，是真命题的是(????)

A．?x∈R，且x≠0，x＋≥2

B．?x∈R，使得x2＋1≤2x

C．若x＞0，y＞0，则≥

D．若x≥，则的最小值为1

10．设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（????）

A．

B．若，则在复平面内对应的点位于第二象限

C．是纯虚数

D．若，则的最大值是6

11．设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（????）

A．或 B．关于直线对称

C．为奇函数 D．

三、填空题

12．在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为．

13．已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为．

14．定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是.

四、解答题

15．已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为.

(1)求圆的分程；

(2)求直线的方程.

16．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；

(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数．

17．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，.

(1)证明：;

(2)若直线AB与平面所成角的正弦值为，点为线段BD上一点，求点到平面的距离.

18．已知函数，对，有

(1)求的值及的单调递增区间：

(2)在中，已知，其面积为，求；

(3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围

19．已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集．

(1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由；

(2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；

(3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

B

C

B

D

BCD

AB

题号

11

答案

ABD