湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题.docx

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湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题

1.已知集合,则中元素的个数为(????)

A.3 B.4 C.5 D.6

2.已知直线与直线互相垂直,交点坐标为,则的值为(????)

A.20 B. C.0 D.24

3.在中,内角所对的边分别为,若,则的形状一定为(????)

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形

4.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列说法中正确的序号为()

①若,则为异面直线②若,则

③若,则④若,则

⑤若,,,则

A.②③⑤ B.①②⑤ C.④⑤ D.①③

5.已知点关于直线对称的点在圆:上,则(????)

A.4 B. C. D.

6.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的城市是(????)

A.甲:中位数为2,众数为3 B.乙:总体均值为3,中位数为4

C.丙:总体均值为2,总体方差为3 D.丁:总体均值为1,总体方差大于0

7.如图,在棱长为2的正方体中,为线段上的动点,则下列结论错误的是(????)

??

A.直线与所成的角不可能是

B.若,则二面角的平面角的正弦值为

C.当时,

D.当时,点到平面的距离为

8.在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢,记作;定义为角的余矢,记作,则下列命题正确的是(????)

A.函数的对称中心为

B.若,则的最大值为

C.若,且,则圆心角为,半径为3的扇形的面积为

D.若,则

二、多选题

9.下列四个命题中,是真命题的是(????)

A.?x∈R,且x≠0,x+≥2

B.?x∈R,使得x2+1≤2x

C.若x>0,y>0,则≥

D.若x≥,则的最小值为1

10.设复数的共轭复数为,i为虚数单位,则下列命题错误的是(????)

A.

B.若,则在复平面内对应的点位于第二象限

C.是纯虚数

D.若,则的最大值是6

11.设为正实数,定义在上的函数满足,且对任意的,都有成立,则(????)

A.或 B.关于直线对称

C.为奇函数 D.

三、填空题

12.在校园乒乓球比赛中,甲、乙进入决赛,赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则乙获得冠军的概率为.

13.已知圆锥的母线长为2,其外接球表面积为,则圆锥的高为.

14.定义,设函数,若函数在上单调递减,则实数的取值范围是.

四、解答题

15.已知点为圆上的一点,圆心坐标为,且过点的直线被圆截得的弦长为.

(1)求圆的分程;

(2)求直线的方程.

16.2023年8月8日,世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分(满分:100,所有人的成绩都在内),根据得分将他们的成绩分成六组,制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值;

(2)估计这100人竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)、众数及中位数.

17.如图,在直四棱柱中,底面四边形为梯形,,.

(1)证明:;

(2)若直线AB与平面所成角的正弦值为,点为线段BD上一点,求点到平面的距离.

18.已知函数,对,有

(1)求的值及的单调递增区间:

(2)在中,已知,其面积为,求;

(3)将函数图象上的所有点,向右平移个单位后,再将所得图象上的所有点,纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,若,求实数的取值范围

19.已知集合且中元素的个数为.若存在,得为2的正整数指数幂,则称为的弱子集;若对任意的均为2的正整数指数幂,则称为的强子集.

(1)请判断集合和是否为的弱子集,并说明理由;

(2)是否存在的强子集?若存在,请写出一个例子;若不存在,请说明理由;

(3)若,且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集,求的最小值.

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参考答案:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

B

C

B

D

BCD

AB

题号

11

答案

ABD

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