专题2.1 圆与方程（八个重难点突破）（原卷版）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

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专题2.1圆与方程

一、圆的标准方程

五、点与圆的位置关系

二、一般方程与标准方程的转化

六、圆的对称问题

三、方程表示圆的条件

七、轨迹问题

四、求圆的方程

八、圆中的最值问题

知识点1圆的标准方程

1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．

2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程．

3．几种特殊位置的圆的标准方程

条件

方程形式

过原点

圆心在原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

与x轴相切

与y轴相切

知识点2点与圆的位置关系

点与圆的位置关系：

（1）点在圆外；

（2）点在圆上；

（3）点在圆内.

知识点3圆上的点到定点的最大、最小距离

设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为:

（1）若点在圆外,则;

（2）若点在圆上,则;

（3）若点在圆内,则.

综上,.

知识点4圆的一般方程

1．圆的一般方程

当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程．

2．对方程的说明

对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表：

条件

图形

不表示任何图形

表示一个点

表示以为圆心,以为半径的圆

重难点一圆的标准方程

1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

2．圆的面积是（????）

A． B． C． D．

3．圆心为，半径为5的圆的方程为.

4．以为直径端点的圆的方程是.

5．求以点为圆心，半径等于2的圆的方程.

称为圆心为,半径为r的圆的标准方程

重难点一一般方程与标准方程的转化

6．圆心为且过原点的圆的一般方程是（????）

A． B．

C． D．

7．圆的圆心和半径分别为（????）

A． B． C． D．

8．已知圆的一般方程为，则圆的面积为.

9．已知圆C的方程为，则圆C的半径为.

10．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（????）

A． B．

C． D．

11．圆C：关于直线对称圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

由此可得圆心,半径.

重难点二方程表示圆的条件

12．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是（???）

A． B． C． D．

13．若，则方程表示的圆的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

14．若方程表示圆的标准方程，则的取值范围是．

15．已知方程表示一个圆，则的取值范围为，该圆的半径的最大值为．

16．方程所表示的圆的最大面积为（）

A． B． C． D．

判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数．

重难点三求圆的方程

17．已知，求外接圆的标准方程．

18．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为．

19．已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程.

20．分别根据下列条件，求圆的方程：

(1)过点，圆心为；

(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上；

(3)过点，，且圆心在x轴上；

(4)过点，和原点．

21．已知圆C过点.

(1)求圆C的方程；

(2)求圆C关于直线对称圆的方程.

确定圆的方程的方法

（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程．

（2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可

重难点四点与圆的位置关系

22．点P与圆的位置关系为（????）

A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定

23．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（????）

A．{a|－1＜a＜1}

B．{a|0＜a＜1}

C．{a|a＜－1或a＞1}

D．{a|－1＜a＜0}

24．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

25．已知点，与圆O：，则（????）

A．点A与点B都在圆O外

B．点A在圆O外，点B在圆O内

C．点A在圆O内，点B在圆O外

D．点A与点B都在圆O内

26．已知三角形ABC的三个顶点为，，，

(1)求三角形ABC外接圆的方程；

(2)判断点是否在这个圆上.

判断点与圆的位置关系的方法：

（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；

（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断．

重难点五圆的对称问题

27．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x