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公平分配试卷的动态需求模型公平分配试卷的动态需求模型

摘要

为使数学建模竞赛评卷具有公平性，给评卷老师分配试卷时必须满足公平原则，即

使得每个评委既避开本校试卷又评判尽可能多的其它学校的试卷，并使每个评委的评卷

数尽量相等。其分配试卷包括两个过程：一是合理分配各个题组评委的名额以及决定哪

些评委分到哪个题组，二是以满足公平原则为前提把每份答卷分给每位评委。在第一个

问题的解决中，本文根据分配名额的两个原则，分析了传统的按比例分配方法的优缺点，

并建立了基于Q值法的模型来分配各个题组的评委名额。之后，本文根据回避最小化将

本校该题答卷数少的评委分至该题组，再依据名额用循环判断算最终确定各个题组的评

委。在第二个问题的解决中，本文建立了动态总需求模型。首先决定是什么因素最终影

响答卷的分配。本文认为对公平的需求程度大小决定答卷最终分配给哪一位评委，所以

引入总需求模型，把它作为分配答卷的判断条件。然后本文引入了动态需求的概念，即

随着答卷分配的进行，每位评委对公平的需求程度会发生变化，即总需求会发生变化。

之后本文建立动态总需求模型来解释总需求会如何变化。动态总需求受两个因素的影

响，即动态基础需求和动态补偿需求，总需求等于动态基础需求和动态补偿需求乘数的

乘积。动态基础需求用当前每位评委平均还应该得到的答卷数来表示。动态补偿需求受

回避答卷数量的影响。评委由于回避试卷数越大而越减少了最大可能阅卷数，因此他们

对能够评阅的答卷的需求也会越大。因此，动态补偿需求与动态最大可能阅卷数成反比。

这样才会使答卷尽量平均地分给每位评委。

关键词：关键词：公平分配，Q值法，动态总需求，动态基础需求，动态补偿需求

0.0.引言

11

BurghesDN等[1]在《数学建模教程》(ACourseinMathmaticalModeling)中

编入了席位公平分配经典问题,并提出该问题的经典Q值法求解。席位公平分配问题是

人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题,其目标是试图在一个大集体对小集体进

行某种资源分配时尽可能做到公平合理。优化决策这类问题的关键是对各个小集体的资

源不公平度及其变化建立正确的数学描述并采用合理方法优化求解。[2]

数学建模竞赛中的试卷公平分配问题，既是席位公平分配问题的一个应用，又与席

位分配问题有所区别。

数学建模(mathematicmodeling)是20世纪末数学界流行的一个新名词，它因其开发

性和竞赛过程中体现的团队性吸引了众多的学校和学生的参与，如今其竞赛活动已在全

国乃至全世界广泛的开展起来。由于参与学校人数众多，试卷的批阅在各个学校选派的

专家评委中展开，因此评委的公平性受到了越来越多的关注。如何建立公正有效的阅卷

方式已经成为了一个重要课题。[3]

通常数学建模竞赛各赛区的评卷工作是这样进行的：先将答卷按学校编号，评委由

各参赛学校（20-50所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由M个来自不同

学校的评委组成，评阅N份答卷。为了保证公平，要求：

1．每份答卷经3个不同的评委评阅；

2．评委必须回避本校答卷；

3．每个评委评阅的答卷尽可能广泛；

4．每个学校的答卷尽可能平均分给每个评委；

5．每个评委评阅答卷的总份数尽可能接近。

分配试卷一般分为两步：一是合理分配各个题组评委的名额以及决定哪些评委分到

哪个题组，二是以满足公平原则为前提把每份答卷分给每位评委。

但是如果不依靠数学手段来分配答卷，为了达到上述原则需要耗费很多的人力和时

间，给评卷进度带来很大的困难，而且往往分配结果不尽如人意。所以有必要针对这一

现实问题建立合理的数学模型，使分配答卷既快捷又公平。

1.1.基于Q值法的评委分组模型

1.1基于Q值法的评委名额分配模型

1.1.1按比例分配原则和Hamilton法[4]

由于每个题组答卷份数不同，一个比较简单合理的方法是按答卷比例原则分配各题

组的评委个数。方法具体如下：设有s个题组，评委总数为N,各题分别有p份答卷，