第4讲实数的运算与化简2024-2025学年北师大版数学八年级上册.docx

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第4讲实数的运算与化简

知识点1积的算术平方根

例1.设2=a,3=b,用含a,b的式子表示0.54

【变式1】.如果二次根式28n是整数,那么正整数n的最小值是()

A.1 B.4 C.7 D.28

【变式2】.[2023山东聊城一模]已知二次根式23?a与8化成最简二次根式后,被开方数相同,若a是正整数,则a的最小值为()A.23 B.21 C.15 D.5

知识点2二次根式的化简

例2.[2023上海宝山实验学校月考]将式子-(m-n)?1m?n化为最简二次根式为.

【变式1】.化简:(1)12a2+4a4(a≤0);

【变式2】.已知0a1,化简a+1a+2-a+

知识点3二次根式的乘法

例3.[2023湖北孝感期末]计算24×16的结果是()

A.4 B.±4 C.2 D.2

【变式1】.计算25×310的结果是()

A.615 B.630 C.302 D.305

【变式2】.已知，化简二次根式____________．

知识点4二次根式的除法

例4.计算:(1)14÷16; (2)64

【变式1】.已知a+1a=1+10,求a2+1a2的值.【变式2】.[2023浙江台州中考]计算:12+|1-3

知识点5二次根式的加减法

例5.计算24-923的结果是()A.6 B.-6 C.-436 D.43

【变式1】.如果最简二次根式3a?8与17?2a能够合并,那么3a?8+17?2a的值为()

5 B.7 C.25 D.27

【变式2】.计算:(1-2)2019×(1+2)2020=.?

知识点6二次根式的混合运算

例6.[2023山东聊城二模]计算(515-245)÷(-√5)的结果为()

A.5 B.-5 C.7 D.-7

【变式1】.计算:3÷(13+316)=

【变式2】.已知m=1+2,n=1-2,则代数式m2+

A.9 B.±3 C.3 D.5

课堂练习

1.已知b0，则二次根式的化简结果是（）

A． B． C． D．

2.若与互为相反数，则的值为（）

A．4 B． C． D．

3.代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是____．

4.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为()A.10-1 B.5-1C.2 D.5

5.若a,b互为相反数,c,d互为倒数,则a2-b2+

6.小明在解决问题:已知a=12+3,求2a2-8a+1的值

因为a=12+3=2?3(2+3)(2-3)=2

所以(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.所以a2-4a=-1.所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程,解决如下问题:

(1)计算:12+1+13+2+1

(2)若a=12-1,求4a2-8a+

7.计算:

(1)(6+8)×3;(2)(46-32)÷22;

(3)(5+6)(3-5);(4)2(18-33)+42×32

8.已知x=7?52,y=7+52,求

9.[2023四川达州通川区期中]已知x=13?22

(1)求x2y-xy2的值;(2)求x2-xy+y2的值.

10.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，CE．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）求AC+CE的最小值；

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．

课后作业

1.若，，则__________．

2.已知正数m的平方根是3x-2和5x+6，则m的值是()

A.B.C.D.

3.代数式a?2在实数范围内有意义时，a应满足的条件是____．

4.如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；……依此法继续作下去，S1，S2，S3…分别表示各个三角形的面积（其中，=S2等），那么S