函数对称性的探究.docVIP

函数对称性的探究

函数对称性的探究

函数对称性的探究

函数对称性得探究

函数是中学数学教学得主线，是中学数学得核心内容,也是整个高中数学得基础。函数得性质是竞赛和高考得重点与热点，函数得对称性是函数得一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身得对称性和不同函数之间得对称性这两个方面来探讨函数与对称有关得性质、

一、函数自身得对称性探究

定理1。函数ｙ=f(ｘ)得图像关于点Ａ(ａ，b）对称得充要条件是

f(x）+f（2a-x)=2b

证明:（必要性)设点P(x,y）是y=f（x)图像上任一点，∵点Ｐ(ｘ,y)关于点A（a,b)得对称点P(2ａ—x，２b-y)也在y=f（x）图像上，2ｂ—y=ｆ(2ａ－x)

即y+f（2a—ｘ）=2b故f（x）+f(2a-x）＝2ｂ，必要性得证。

(充分性）设点P(x0,y0）是ｙ=ｆ（x）图像上任一点,则ｙ0=ｆ（x0）

∵f(x）＋f（2ａ-x）＝2bｆ（ｘ0)+f(2a－x0）＝2b,即2b-y0＝ｆ(2ａ—x0)。

故点P(2a-x0,2ｂ—y０）也在ｙ＝f（ｘ）图像上,而点P与点P关于点A(ａ，b)对称，充分性得征、

推论：函数y=f(x）得图像关于原点O对称得充要条件是f（x)＋f（-x)=０

定理2、函数y=f（ｘ）得图像关于直线ｘ=a对称得充要条件是

f（a＋x）=f（a－ｘ）即f（x)=ｆ（2a—x）(证明留给读者)

推论：函数y=f(x)得图像关于y轴对称得充要条件是ｆ(x)=f（—x)

定理3、①若函数y＝f（ｘ）图像同时关于点Ａ（a,ｃ）和点Ｂ（b，c)成中心对称（ａb），则y=f（x)是周期函数,且２｜ａ-ｂ|是其一个周期。

②若函数y=f（ｘ）图像同时关于直线x=a和直线ｘ=ｂ成轴对称（ab）,则ｙ=ｆ（x）是周期函数，且2|a—ｂ｜是其一个周期。

③若函数y＝f（x)图像既关于点A（ａ,c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（aｂ），则y=f(x)是周期函数,且４｜a－b|是其一个周期、

①②得证明留给读者，以下给出③得证明：

∵函数y=f（ｘ）图像既关于点A(a，c)成中心对称，

ｆ(x）+f（2ａ-x)=2c，用2b—ｘ代x得:

ｆ(２b－ｘ）+f[2ａ—（2b—x)］＝2c(*）

又∵函数y=f(ｘ)图像直线x=b成轴对称，

ｆ（2b-x)=f（x）代入（＊)得：

f(x)=2c—f［2（a—ｂ)+x］（*＊），用2(ａ-b）—x代x得

ｆ［２（ａ-ｂ)+x]＝2c—ｆ［4(a-b)+x］代入(＊＊）得:

ｆ(x）=f[４(ａ-ｂ）+x],故ｙ=f（x）是周期函数，且4|ａ-b｜是其一个周期。

二、不同函数对称性得探究

定理4、函数y=f(x）与y=2b－ｆ(2a—x)得图像关于点A(a，b)成中心对称、

定理5。①函数y=f(x)与y=f（2a—ｘ)得图像关于直线x=a成轴对称、

②函数ｙ=f（ｘ)与a－x=f（ａ－y）得图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x）与ｘ－a=f(y+a）得图像关于直线x－y＝a成轴对称。

定理4与定理5中得①②证明留给读者，现证定理５中得③

设点P（x0,ｙ0）是y＝f（x）图像上任一点，则y０＝f（x0）。记点P(x,y）关于直线x－y＝ａ得轴对称点为P(x1,y１），则ｘ1=a+ｙ0，ｙ1=x0－a，x０＝a+y１,y0=x1－a代入y0=f（x0）之中得ｘ1—ａ＝f（a+y1）点P(x1，y1）在函数ｘ－a=f（ｙ+a）得图像上。

同理可证：函数x-a=ｆ(y+a）得图像上任一点关于直线x－ｙ=a得轴对称点也在函数y=f（x）得图像上、故定理5中得③成立。

推论:函数y＝ｆ(ｘ）得图像与ｘ=f（y）得图像关于直线ｘ=ｙ成轴对称。

三、三角函数图像得对称性列表

函数

对称中心坐标

对称轴方程

y=ｓｉｎx

(k，0)

x=k/２

ｙ=cosx

(k/2，0）

x=k

ｙ=ｔａnx

（k/２,0)

无

注：①上表