3.2函数的基本性质（1）导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

3.2函数的基本性质

【学习目标】

（1）理解函数的单调性及其几何意义，能利用函数图像理解和研究函数的单调性（数学抽象）

（2）会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性（逻辑推理）

（3）会求一些具体函数的单调区间（数学运算）

【重点难点】

重点：单调性的定义及求法

难点：单调性的意义

导问引领，新知生成：

变化中的不变性是性质，变化中的规律性也是性质，那么你能得到函数有那些性质吗？这里，函数值随着自变量的增大怎样变化的？这就是我们这节课要研究的问题----函数的单调性。

问题1.对于函数，如果在区间D上，当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,那么y是否随着x的增大而增大?

问题2：对于函数，如果在区间D上，任意,对应的,那么可以换一种说法是什么?

问题4：增(减)函数定义中的x?，x?有什么特征？函数各有怎样的单调性？

1、增函数与减函数的定义

条件

一般地，设函数的定义域为I，区间D?I.如果，当x?x?时,

都有

都有

结论

那么就说函数f(x)在区间D上_,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数

那么就说函数f(x)在区间D上_，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数

图示

2函数的单调区间：

如果函数在区间D上或,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作函数的.

特别注意：(1)函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数y=

(2)当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数在区间(-∞,0)和(0，+∞)上都单调递减，不能认为的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).

（3）单调区间端点问题，如果函数在端点有意义，则一般些闭区间，无定义则必须些开区间。

展示交流，新知应用：

例题1.证明函数在区间(0,1)上单调递减。

方法总结：利用定义证明单调性的步骤：

（1）取值:设是区间D内任意取值，且，（或）

（2）作差变形：作差（或），通过因式分解、配方有理化等方法，变化成容易判断符号的形式，一般化成积的形式；

（3）定号：确定差（或）的符号当符号不定时，可以分类讨论

（4）结论：根据定义得出结论。

变式：本例中若若改成在（-1,0）呢？那么剩余的两个区间上的单调区间又如何呢？试依据所得结论画出函数的图像。

新知升华：我们通常把形如称为对钩（或双钩）函数，其在上单调递减，在上单调递增。

巩固练习

1.(多选题)下列函数在(-∞，0)上单调递增的是().

ABCD

例题2.(1)定义在区间[-5,5]上的函数的图象如图所示，根据图象写出函数的单调区间，以及在每一单调区间上的单调性.

(2)作出函数fx=-x-3,x≤1,x-2

方法总结：

(1)函数单调区间的两种求法

①图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间.

②定义法，即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.

(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有。

（3）一次函数、二次函数、反比例函数的单调性如何？

例题3.(1)若函数在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是.

(2)已知函数y=f(x)在R上单调递增,且f(2x-3)f(5x-6),则实数x的取值范围为.

变式：

1.若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.

2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，求x的取值范围.

方法总结：

1.利用单调性比较大小或解不等式的方法

(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上：

(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式.此时应特别注意函数的定义域.

2.已