专题04 余弦定理、正弦定理（解析版）.docxVIP

余弦定理、正弦定理

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：利用正、余弦定理解三角形 4

题型二：利用正、余弦定理判断三角形形状 8

题型三：与三角形面积有关的问题 11

题型四：最值或范围问题 14

题型五：正弦定理、余弦定理的应用 20

知识点总结

知识点总结

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

正弦定理

余弦定理

文字

语言

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

公式

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)

a2＝b2＋c2－2bccos_A，

b2＝a2＋c2－2accos_B，

c2＝a2＋b2－2abcos_C

常见

变形

(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C．

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).

a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C．

asinB＝bsinA，bsinC

＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2.三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA．

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

(4)S＝eq\r(p?p－a??p－b??p－c?)，即海伦公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)为△ABC的半周长．

3．常用定理

(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子；sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；

coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA．

(3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．即若AD为∠A的平分线，则有比例关系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).

4．重要关系

(1)等价关系：AB?ab?sinAsinB

?cosAcosB．

(2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\f(C,2)；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2).

(3)等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c?2sinB＝sinA＋sinC．

5．解三角形中的常用术语

(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．

(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．

(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似．

(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tanθ)．坡度又称为坡比．

6．解三角形的应用问题的要点

(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；

(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．

例题精讲

例题精讲

利用正、余弦定理解三角形

【要点讲解】(1)求边:利用正弦定理变形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bc

(2)求角:利用正弦定理变形公式sinA=asinBb等或余弦定理变形公式cosA=

(3)利用