专题04 二次函数与幂函数（原卷版）.docxVIP

专题04二次函数与幂函数

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：幂函数的图像与性质 4

题型二：利用幂函数比较大小 5

题型三：二次函数解析式 6

题型四：二次函数单调性求参数 7

题型五：二次函数最值问题 9

题型六：二次函数恒成立问题 10

知识点总结

知识点总结

幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

图象

性质

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增

在R上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

公共点

(1,1)

(3)幂函数y＝xα的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．

②当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．

③当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

二次函数

(1)二次函数解析式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

R

R

值域

单调性

在上单调递减；在上单调递增

在上单调递增；在上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－对称

【常用结论与知识拓展】

1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．

2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．

(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α0.

例题精讲

例题精讲

幂函数的图像与性质

【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α0,0α1,α=1,α1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.

图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是

A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3

如图所示是函数，均为正整数且，互质）的图象，则

A．，是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．，是奇数，且

已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数．

已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点

A． B． C． D．

已知幂函数的图象过，，，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是

A． B．

C． D．

若，则实数的取值范围．

关于的不等式的解集为．

已知幂函数在上单调递增，函数，，，，，使得成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

利用幂函数比较大小

【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

已知，，，则

A． B． C． D．

设，则，，的大小顺序是

A． B． C． D．

已知，若，则下列各式中正确的是

A． B．

C． D．

已知幂函数满足（2），若，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

二次函数解析式

【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解

已知二次函数满足，（2）（1），若不等式有唯一实数解．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在，上的最小值为．

①求；

②解不等式

已知二次函数，，均为常数，，若和3是函数的两个零点，且最大值为4．

（1）求函数的解析式；

（2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立．

在①（4），（3），②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：已知函数，且_______．

（1）求的解析式；

（2）若在，上的值域为，，求的值．

二次函数单调性求参数

【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动

若函数在，上是单调函数，则的取值范围是

A．， B．，，

C．， D．，

已知函数在区间上单调递增，