高考解答题专项突破(二) 三角函数的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析.doc

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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[考情分析]以三角形、三角函数为载体，以三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角函数的综合问题是高考的热点题型，主要考查内容有正、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时要充分利用三角函数的图象与性质，交替使用正弦定理、余弦定理，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．

考点一三角函数图象与性质的综合

例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A0，ω0，|φ|\f(π,2)))的部分图象如图所示．

(1)求f(x)＝2的解集；

(2)求函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的单调递增区间．

解(1)由图象可知，周期T＝eq\f(5π,12)＋eq\f(7π,12)＝π，

∴ω＝eq\f(2π,π)＝2，

∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))在函数图象上，

∴Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋φ))＝0，

∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))＝0，解得eq\f(5π,6)＋φ＝π＋2kπ，φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，

∵|φ|eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，

∵点(0，1)在函数图象上，∴Asineq\f(π,6)＝1，A＝2，

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，

由f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝2，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝1，

即2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，

解得x＝eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z，

∴f(x)＝2的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,6)＋kπ，k∈Z)))).

(2)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))，

由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，

g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋\f(π,6)))－2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,6)))＝2sin2x－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sin2x－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x＋\f(\r(3),2)cos2x))＝sin2x－eq\r(3)cos2x

＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，

由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，

得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，

∴函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.

解决三角函数图象与性质综合问题的方法

利用图象讨论三角函数的性质，应先把函数化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω0)的形式，然后通过换元法令t＝ωx＋φ，转化为研究y＝Asint或y＝Acost的性质．

1.已知函数f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2eq\f(ωx