专题7.4 空间直线、平面的垂直（解析版）.docxVIP

专题7.4空间直线、平面的垂直

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：直线与平面垂直的判定与性质 3

题型二：平面与平面垂直的判定与性质 10

题型三：垂直关系的判断 15

题型四：直线与平面所成的角 30

题型五：二面角 40

题型六：存在性问题 47

知识点总结

知识点总结

直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定

定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))

?l⊥α

性质

定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))

?a∥b

平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范围是[0°，180°].

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定

定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))

?α⊥β

性质

定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥al?β))

?l⊥α

空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

垂直、平行关系的相互转化

例题精讲

例题精讲

直线与平面垂直的判定与性质

【要点讲解】证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．

已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A．，， B．，

C．， D．，

【解答】解：若，，，则与可能平行与可能异面，故错误；

若，，则或，故错误；

若，，则或，故错误；

若，根据线面垂直的判定方法，易得，故正确；

故选：．

已知直线，和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是

A． B． C． D．

【解答】解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使，

只需在已知直线、和平面、，若，，，则应增加的条件，

故选：．

已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【解答】解：三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，

那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影，满足充分性；

三垂线定理，指的是平面内的一条直线，

如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，

那么它也和这条斜线垂直．所以满足必要性．

故选：．

已知直线和平面，则下列命题中正确的是

A．若与斜交，则内不存在与垂直的直线

B．若，则内的所有直线与都垂直

C．若与斜交，则内存在与平行的直线

D．若，则内的所有直线与都平行

【解答】解：对于，若与斜交，则内存在与垂直的直线，故错误；

对于，若，则由线面垂直的性质得内的所有直线与都垂直，故正确；

对于，若1与斜交，则内不存在与平行的直线，故错误；

对于，若，则内的直线与平行或异面，故错误．

故选：．

若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是

A．， B．若，

C．， D．若，

【解答】解：对，若，，，可能相交也可能平行，故项不正确；

对，，，则可能有，故，项不正确；

对，，，则必有，故项正确．

故选：．

已知直线，与平面，，，能使的充分条件是

A．，， B．，

C．， D．，，

【解答】解：直线，与平面，，，

对于，，，时，也可能满足，如图1，故错误