专题9.2 二项式定理（原卷版）.docxVIP

专题9.2二项式定理

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：求(a＋b)n形式的“特定项” 3

题型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 4

题型三：三项式的展开式 4

题型四：“二项式系数”与“项的系数”的最值问题 5

题型五：“二项式系数”与“项的系数”的和 7

知识点总结

知识点总结

二项式定理

二项式

定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

二项

展开式

Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式

通项

Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0,1,2，…，n)

二项式

系数

各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)

二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＝C\o\al(n－m,n))得到.直线r＝eq\f(n,2)将函数f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.

(2)增减性与最大值：当keq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而增大；当keq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而减少.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n,2)＋1))的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)))与Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)＋1))的二项式系数相等且最大.

(3)各二项式系数的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

杨辉三角的性质

(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，….

(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).

(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).

(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….

(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数．

例题精讲

例题精讲

求(a＋b)n形式的“特定项”

【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数.注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．

在的展开式中，的系数为．

若的展开式中共有个有理项，则的值是

A．1 B．2 C．3 D．4

“”是“的二项展开式中存在常数项”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为

A．28 B． C．45 D．

二项式的展开式中含项的系数是

A