专题9.4 随机变量分布（原卷版）.docxVIP

专题9.4随机变量分布

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：离散型随机变量的分布列性质 3

题型二：确定离散型随机变量的分布列 4

题型三：分布列的期望与方差 8

题型四：方案评价与决策问题 10

知识点总结

知识点总结

离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

离散型随机变量的分布列的性质

(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．

均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．

【常用结论与知识拓展】

均值与方差的四个常用性质

(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．

(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．

(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．

例题精讲

例题精讲

离散型随机变量的分布列性质

【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.

某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则

8

9

10

0.36

0.33

A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64

已知随机变量的分布列如表：

1

2

3

4

0.15

0.35

0.25

则实数

A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35

已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则

A． B． C． D．

已知离散型随机变量的分布列，则

A．1 B． C． D．

某市卫生部门随机抽取该市的16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在分范围内，以下表格记录了它们的评分情况：

评分

，

，

大学所数

4

8

4

（1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率；

（2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选3所，记食堂评分不低于9分的大学有所，求的分布列．

确定离散型随机变量的分布列

【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列．

在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：

（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；

（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．

某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：

（1）抽到他能答对题目数的分布列；

（2）他能通过初试的概率．

某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，

（1）请列出的分布列；

（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．

某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，

（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；

（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期