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专题9.3随机事件与概率
目录
TOC\o1-3\h\z\u题型一:有限样本空间 5
题型二:随机事件的关系与运算 6
题型三:古典概型 9
题型四:相互独立事件判断 11
题型五:条件概率 13
知识点总结
知识点总结
样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.
②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义:将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.
②表示:大写字母A,B,C,….
③随机事件的极端情形:必然事件、不可能事件.
事件的关系和运算
含义
符号表示
包含
若事件A发生,则事件B一定发生
B?A
(或A?B)
相等
事件B包含事件A,事件A也包含事件B
A=B
并事件
(和事件)
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B
(或A+B)
交事件
(积事件)
事件A与事件B同时发生
A∩B
(或AB)
互斥
(互不相容)
事件A与事件B不能同时发生
A∩B=?
互为对立
事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生
A∪B=Ω,
且A∩B=?
频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A)估计概率P(A).
古典概型
(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
(2)古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=eq\f(k,n)=eq\f(n?A?,n?Ω?).
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(?)=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:如果A?B,那么P(A)≤P(B).
特别地,对任意事件A,因为??A?Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
显然,性质3是性质6的特殊情况.
事件的相互独立性
(1)两个事件相互独立的定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.必然事件Ω,不可能事件?都与任意事件相互独立.
(2)相互独立的性质:如果事件A与B相互独立,那么A与eq\x\to(B),eq\x\to(A)与B,eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.
条件概率与全概率公式
(1)条件概率
①定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,我们称P(B|A)=eq\f(P?AB?,P?A?)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
②概率的乘法公式:由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)0,则P(AB)=P(A)·P(B|A).
(2)条件概率的性质:设P(A)0,则
①P(Ω|A)=1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A);
③设eq\x\to(B)和B互为对立事件,则P(eq\x\to(B)|A)=1-P(B|A).
(3)全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω,有P(B)=eq\i\su(i=1,n,P)(Ai)P(B|Ai).
【常用结论与知识拓展】
(1)为方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
(2)当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥.也即两事件互斥是对立的必要不充分条件.
(3)随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率.
(4)若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A
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