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专题9.3随机事件与概率

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：有限样本空间 5

题型二：随机事件的关系与运算 7

题型三：古典概型 10

题型四：相互独立事件判断 14

题型五：条件概率 19

知识点总结

知识点总结

样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．

②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

(2)随机事件

①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．

②表示：大写字母A，B，C，….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．

事件的关系和运算

含义

符号表示

包含

若事件A发生，则事件B一定发生

B?A

(或A?B)

相等

事件B包含事件A，事件A也包含事件B

A＝B

并事件

(和事件)

事件A与事件B至少有一个发生

A∪B

(或A＋B)

交事件

(积事件)

事件A与事件B同时发生

A∩B

(或AB)

互斥

(互不相容)

事件A与事件B不能同时发生

A∩B＝?

互为对立

事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生

A∪B＝Ω，

且A∩B＝?

频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．

(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

古典概型

(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n?A?,n?Ω?).

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

概率的基本性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．

特别地，对任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

显然，性质3是性质6的特殊情况.

事件的相互独立性

(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.必然事件Ω，不可能事件?都与任意事件相互独立.

(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．

条件概率与全概率公式

(1)条件概率

①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．

(2)条件概率的性质：设P(A)0，则

①P(Ω|A)＝1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；

③设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．

(3)全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．

【常用结论与知识拓展】

(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．

(2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．

(3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．

(4)若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(