圆锥曲线的方程（三）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）.docxVIP

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三

知识点一根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题

典例1、已知椭圆经过点和点．

（1）求椭圆的标准方程和离心率；

（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．

随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.

典例2、已知椭圆经过点，其右顶点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．

随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．

（1）求C的方程；

（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

典例3、已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标

原点，当的面积等于时，求直线的方程．

随堂练习：已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．

（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

知识点二根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、

斜率求参数,根据韦达定理求参数

典例4、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.

随堂练习：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．

（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．①证明：；

②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

典例5、已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1

与曲线E交于A,B两点,

(1)求k的取值范围;

(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．

典例6、已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．

（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．

随堂练习：在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，

过焦点垂直于实轴的弦长为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三答案

典例1、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为（2）证明见解析

解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，

所以，椭圆的标准方程为，离心率为.

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

可得，

由韦达定理可得，，

，同理可得，

由已知，则

，

所以，，即，解得或.

当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；

当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；

②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，

由已知可得，，，由已知，

则，所以，，因为，解得，

此时直线的方程为，则直线过点.综上所述，直线过定点.

随堂练习：答案：（1）（2）存在，

解：（1），，?椭圆，将代入可得，故，

椭圆方程为：；

（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，

联立方程可得：，

，，为常数，

代入韦达定理可知，即为常数，，故

且，直线l过定点

当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.

典例2、答案：（1）（2）证明见解析

解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，

因此，椭圆的方程为.

（2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，

从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.

设直线方程为，设点、，

联立，可得，，可得，

由韦达定理可得，，因为，

整理可得，

即，化简得，

即，可得或.

当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；

当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.

随堂练习：答案：（1）（2）过定点，定点坐标为

解：（1）依题意，由解得，所以椭圆的方程为.

（2）由题